Por favor, ayúdenme a entender esto. $\frac{dx}{dt} = S x (a-x)$ . ¿Qué significa para algunos constante $S$ ? Cómo encontrar $x$ de crecimiento más rápido/más lento?

Question

Me cuesta entender este problema. Existe una función que calcula la velocidad de reacción de una sustancia para una constante positiva $S$ .

$a$ = cantidad original de la primera sustancia $x$ = cierta cantidad de sustancia

Primera pregunta, ¿qué $\frac{dx}{dt} = S x (a-x)$ ¿Qué quiere decir? ¿Significa esto que la tasa de cambio de $x$ en la ecuación $(S x (a-x))$ se ve afectado por el cambio de hora? Entonces, si no hubiera ' $x$ ' en la ecuación, que el cambio en el tiempo no afectaría a la ecuación ¿verdad? *Esta es la primera vez que encuentro ' $dt$ ' en mis tareas derivadas. A la hora de encontrar derivadas para ecuaciones sencillas, se ha utilizado sobre todo la notación d/dx.

Cuando grafiqué $S x (a-x)$ sustituí números aleatorios por $S$ y $a$ . ¿Me dice esto algo sobre la función para la tasa de aumento y disminución? ¿Debería haber resuelto para $a$ ? Observo que la función aumenta y luego disminuye a medida que $x$ se aleja de $0$ . También sé que cuando la derivada cruza el $x$ eje, la función original (que desconozco) empezará a disminuir.

¿Qué tengo que hacer para determinar la tasa de crecimiento más rápida/más lenta utilizando la derivada? Gracias

Answer 1

Significa que la cantidad $x(t)$ es una función del tiempo (tiene sentido) y te dice que la tasa de cambio de $x$ es función de $x$ sí mismo.

Si el lado derecho fuera una constante, entonces la tasa de cambio sería constante: cada segundo la cantidad $x$ aumentaría en $S$ .

Seguro que en Cálculo ya has visto ejemplos de funciones en las que el lado derecho dependía de $t$ . Si ese fuera el caso, entonces se podría calcular $x(t)$ dada la fórmula para $dx/dt$ integrando ambos lados, por ejemplo, hallando el área bajo la curva de $dx/dt$ .

Aquí la situación es un poco diferente, ya que la derivada depende de $x$ y no $t$ . Cuesta un poco acostumbrarse, pero conceptualmente, la fórmula te dice la pendiente de $x(t)$ dado el valor actual de $x(t)$ .

En este caso concreto, si no hay material ( $x=0$ ) o hay exactamente $a$ cantidad de material, entonces $dx/dt=0$ y el sistema está en equilibrio: la pendiente es 0 y $x$ no cambia con el tiempo.

Si $x$ está entre 0 y $a$ entonces $dx/dt$ es positivo y $x$ aumentará con el tiempo. En $x$ aumentos y aproximaciones $a$ la tasa de aumento disminuye.

Si $x$ ha terminado $a$ entonces $dx/dt$ es negativo y $x$ disminuye con el tiempo hacia $a$ .

El aumento máximo se producirá cuando $Sx(a-x)$ es el más positivo; se puede encontrar el valor de $x$ como de costumbre, tomando la derivada de $Sx(a-x)$ con respecto a $x$ y poniéndolo a cero.

La ecuación $dx/dt = Sx(t)[a-x(t)]$ se denomina ecuación diferencial ordinaria y dado el valor inicial de $x$ en el momento 0, $x(0)$ se puede resolver para la función $x(t)$ que da $x$ en todo momento, aunque probablemente aún no hayas aprendido las técnicas. He aquí algunas parcelas de $x(t)$ para $S=1$ , $a=1$ y varios valores diferentes de $x(0)$ :

Aquí puede ver las principales características del sistema, a saber $x$ disminuye o aumenta hacia $a$ dependiendo de dónde empiece.

Answer 2

La explicación dada por @user7530 es tan excelente que poco tengo que añadir. Dicho esto, en caso de que tengas curiosidad por la solución real de la ecuación diferencial que has publicado, en realidad no es nada difícil de resolver con un poco de Calc II. No lo derivaré a menos que me lo pidas, (y estoy seguro de que @user7530 lo ha hecho, dado que lo ha graficado) y el resultado es

$$x(t) = \frac{a x(0)}{x(0) + [a-x(0)] e^{-a S t}}$$