Se afirma que cualquier función simétrica puede expresarse en términos de los polinomios simétricos elementales. Estoy tratando de hacerlo para la siguiente función generatriz:
\begin{equation} \prod_{1 \leq i<j \leq k} (x_{i} + x_{j}). \end{equation}
No consigo encontrar la manera de hacer esto en general. Puedo ver algún tipo de patrón, sin embargo, con la participación de las funciones simétricas monomial, que son
\begin{equation} m_{(1,2)} = x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2, \end{equation} y análogamente para cualquier $k$ . Los valores con subíndice en $m$ puede ser cualquier número entero.
He demostrado que esto se puede hacer para los casos $k=1,2$ en cuyo caso se obtiene
\begin{equation} \prod_{1 \leq i<j \leq 2} (x_{i} + x_{j}) = (x_1 + x_2) = \frac{m_{(1,2)}}{\sigma_2^{(2)}}, \end{equation} \begin{equation} \prod_{1 \leq i<j \leq 3} (x_{i} + x_{j}) = \frac{m_{(1,2,3)}}{\sigma_3^{(3)}} + 2 \sigma_3^{(3)}, \end{equation} y para $k=4$ Obtengo algo en forma de \begin{equation} \prod_{1 \leq i<j \leq 4} (x_{i} + x_{j}) = \frac{m_{(1,2,3,4)}}{\sigma_4^{(4)}} + ?, \end{equation} que no puedo calcular, al menos no fácilmente, aunque haré el tedioso cálculo. (¿Hay alguna forma de emplear las funciones simétricas monomiales en mathematica de alguna manera?)
Pregunta principal, ¿existe ya una descomposición conocida para esta función generadora? Si es así, ¿cuál es? Si no es así, ¿cómo debería hacer una? O al menos poder determinarla para valores hasta $k=6$ .
