Ejemplo de grupo no cíclico soluble infinito

Question

Estoy buscando un ejemplo de grupo no cíclico soluble infinito.

Answer 1

Cualquier grupo abeliano no cíclico servirá. Por ejemplo, tomemos el producto directo del grupo cíclico infinito con cualquier grupo abeliano finito. O considere los números reales o los números racionales o los números complejos o... etc.

Para un ejemplo no abeliano, tome el producto directo de su grupo abeliano infinito favorito $A$ (por ejemplo, el grupo cíclico infinito) con cualquier grupo soluble finito $S$ . (Deberá demostrar que el grupo resultante $G=A\times S$ es efectivamente soluble).

Answer 2

Todos los grupos nilpotentes (y, por tanto, abelianos) son solubles, pero aquí hay uno que le resultará familiar.

Tome su anillo conmutativo favorito $R$ (con identidad), y construir el grupo de $n\times n$ matrices triangulares superiores, con unidades en la diagonal. Por tanto, cada matriz es invertible, ya que su determinante es una unidad en $R$ . Se puede hacer nilpotente este ejemplo teniendo sólo $1$ s en la diagonal en lugar del conjunto de unidades.

Este es el caso cuando $R=\mathbb{Z}$ y $n=3$ : $$G = \left\{ \begin{bmatrix} \pm 1 & a & c \\ & \pm 1 & b \\ & & \pm 1\end{bmatrix} \;\middle|\; a,b,c\in \mathbb{Z} \right\}.$$