Empecé diciendo que $x^2$ y $y^2$ deben ser divisibles por 9 porque son cuadrados perfectos y deben sumar un múltiplo de tres. $z^2$ también debe ser múltiplo de 9, de lo contrario la ecuación no sería correcta. $3z^2$ tendrá un múltiplo extra de $3$ por lo que la ecuación no es cierta para valores distintos de $x=y=z=0$ .
¿Es correcto mi razonamiento? ¿Y se aplicaría esta lógica para $x^2+y^2=5z^2$ ?
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- Mostrar que la curva $x^2+y^2-3=0$ no tiene racionales puntos (4 respuestas )
Respuesta
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Supongamos que $x^2+y^2=3z^2$ es una solución mínima no nula. Consideremos ahora $x$ y $y$ modulo $3$ ( $1^2 \equiv 2^2 \equiv 1 \pmod{3}) $ . Ambos deben ser múltiplos de $3$ así que $x=3a$ y $y=3b$ . esto da $3a^2+3b^2=z^2$ así que $z$ debe ser múltiplo de $3$ . $z=3c$ y tenemos $a^2+b^2=3c^2$ que contradicen la hipótesis de que $x^2+y^2=3z^2$ es una solución mínima no nula.
