¿De qué clase de espacios topológicos se trata?

Question

Es bien sabido, pero al parecer he olvidado la respuesta a la siguiente pregunta. ¿Qué espacios topológicos $V$ tienen esta propiedad:

Para cada subconjunto abierto $U\subset V$ existe una función continua distinta de cero $f\colon V\to \mathbb{R}$ tal que $\overline{\{x\in V\colon f(x)\neq 0\}}\subset U$ ?

¿Es normalidad por casualidad?

Answer 1

Cada completamente regular espacio tiene su propiedad, sea o no $T_1$ . Para cada $x\in X$ y abrir nbhd $U$ de $x$ La regularidad completa te da un continuo $f_{x,U}:X\to[0,1]$ tal que $f_{x,U}(x)=1$ y $f_{x,U}(y)=0$ para todos $y\in X\setminus U$ . Ahora dejemos que $U$ sea cualquier conjunto abierto no vacío en el espacio completamente regular $X$ . Fijar $x\in U$ arbitrariamente, y que $$V=\left\{y\in U:f_{x,U}(y)>\frac12\right\}\;;$$ entonces $V$ es un nbhd abierto de $x$ y $f_{x,V}$ es una función continua de valor real en $X$ cuyo soporte se encuentra en $U$ .

Sin embargo, también hay espacios de su propiedad que no son del todo regulares. Deje que $X$ sea el espacio construido por John Thomas en 'A Regular Space, Not Completely Regular', The American Mathematical Monthly Vol. $76$ No. $2$ (Feb., $1969$ ), pp. $181$ - $182$ y se describe detalladamente en esta respuesta . $X$ tiene un conjunto denso de puntos aislados, por lo que si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $X$ , $x\in U$ sea un punto aislado y definamos

$$f:X\to\Bbb R:y\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }y=x\\ 0,&\text{otherwise}\;; \end{cases}$$

claramente $f$ es continua y cuenta con apoyo $\{x\}\subseteq U$ .

Answer 2

Esto está implícito en la regularidad completa + $T_1$ también llamada Tychonoff, una propiedad más débil que la normalidad.

Si $U$ es un conjunto abierto (no vacío), encuentre un conjunto abierto no vacío $V$ tal que $\overline{V} \subset U$ (por regularidad) y para algunos $p \in V$ una función continua $f: V \rightarrow [0,1]$ avec $f(p) = 1$ y $f([X \setminus V] = \{0\}$ por completa regularidad. Entonces $\overline{\left\{x \in V: f(x) \neq 0\right\}} \subset \overline{V} \subset U$ según sea necesario.

No parece que sea equivalente, como ha señalado Brian. Pero es verdadero en todos los Tychonoff ( $T_{3\frac{1}{2}}$ ) espacios.