Cómo deducir que no existe ninguna sucesión de polinomios $P_n$ tal que $P_n(z)\to \frac 1z$

Question

El ejercicio que tengo es el siguiente:

1. Sea $f$ sea una función entera. Calcule \begin{equation} \frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{1-zf(z)}{z}dz \end{equation}
2. Demostrar que todos $f$ funciones completas verifican que \begin{equation} \max_{|z|=1}|z^{-1}-f(z)|\ge1 \end{equation} Deduce que no existe ninguna secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n\to\frac1z$ uniformemente en $\{|z|=1\}$ .

Sé que 1. se puede hacer con $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ : \begin{equation} \frac{1-zf(z)}{z} = \frac{1}z-f(z) \end{equation} Así que \begin{equation} \frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{1-zf(z)}{z}dz = \frac1{2\pi i}\left(\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz - \int_{|z|=1}f(z)dz\right) = \frac1{2\pi i}(2\pi i-0) = 1 \end{equation}

El segundo ejercicio también es bastante sencillo, ya que obtenemos lo siguiente:

\begin{equation} 1 = \left| \frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{1-zf(z)}{z}dz \right|\le \frac1{2\pi} \operatorname{len}(\{|z|=1\})\max_{|z|=1}|g(z)|\le \frac1{2\pi}2\pi\max_{|z|=1}\left|\frac{1-zf(z)}{z}\right| = \max_{|z|=1}\left|\frac{1}{z}-f(z)\right| \end{equation}

¿Pero cómo deduzco de esto que no existe una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n\to\frac1z$ uniformemente en $\{|z|=1\}$ ?

Answer 1

Pista: Como todo polinomio es una función entera tendríamos $$\lVert z^{-1}-P_n(z)\rVert_\infty \to 0$$ en $|z|=1$ . ¿Ves la contradicción?

Solución completa: Supongamos que existiera tal secuencia de polinomios. Entonces tendríamos $$\lVert z^{-1}-P_n(z)\rVert_\infty \to 0$$ Pero a partir de 2. por cada $n\in \mathbb{N}$ y $z\in \mathbb{C}$ tal que $|z|=1$ tendrías $$\lVert z^{-1}-P_n(z)\rVert_\infty \geq 1$$ lo cual es una contradicción.