Para la ecuación de onda $u_{tt} =c^2u_{xx}$ sujeta a las condiciones de contorno de Robin $$a_0u(0, t)-b_0u_x (0, t) = 0$$ $$a_1u(1, t)+b_1u_x (1, t) = 0$$ para constantes $a_0, b_0, a_1, b_1$ avec $b_0\neq0$ y $b_1\neq 0$ . Calcular la derivada $E'(t)$ de la energía dada en el ejemplo.
¿Cómo $E(t)$ para que permanezca constante en el tiempo con estas nuevas condiciones límite?
¿Qué limitaciones deben imponerse a $a_0, b_0, a_1, b_1$ para garantizar que la energía modificada sea una función no negativa de $u$ ?
Inténtelo :
La energía $E$ asociada a la ecuación de onda $u_{tt} =c^2u_{xx}$ para $0<x<1,t>0$ viene dada por $$E(t)=\int_0^1 (u_t)^2+c^2(u_x)^2dx.$$
Diferenciando con respecto a $t$ encontramos, $$\frac{dE}{dt}=\int_0^1((u_t)^2+c^2(u_x)^2)dx.$$ A continuación, integrando el segundo término de la parte derecha por partes, se obtiene \begin{align*} \frac{dE}{dt} &=2\int_0^1 u_t(u_{tt}-c^2u_{xx})dx+c^2u_xu_t\Big|_0^1 \\ \end{align*} Dada nuestra EDP y las condiciones de contorno, \begin{align*} a_0u(0,t)-b_0u_x(0,t)=0 \implies u_x(0,t)=\frac{a_0}{b_0}u(0,t) \\ a_1u(1,t)+b_1u_x(1,t)=0 \implies u_x(1,t)=-\frac{a_1}{b_1}u(1,t) \end{align*} obtenemos \begin{align*} \frac{dE}{dt} &= 2\int_0^1 u_t(0)dx-c^2\Big[\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_0}{b_0}\Big]uu_t\Big|_0^1 \\ &= -c^2\Big[\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_0}{b_0}\Big]uu_t\Big|_0^1. \end{align*}
Suponiendo que mi $E'(t)$ es correcta, la respuesta a la segunda pregunta sería, que $c^2=\frac{a_1}{b_1}-\frac{a_0}{b_0}$ . Esto garantizará $E'(t)$ se desvanezca, haciendo que la energía sea constante en el tiempo.
Mi intuición es mostrar que en los límites el máximo y el mínimo son ambos $\ge0$ . Invocando el principio máximo, podemos argumentar que E(t) será no negativo. Pero no estoy seguro de qué restricciones imponer a la Energía modificada.
EDIT: Para la pregunta 3, ya que dejé que $c^2=\frac{a_1}{b_1}-\frac{a_0}{b_0}$ sólo tenemos que dejar que este término sea positivo (es decir. $\frac{a_1}{b_1}>\frac{a_0}{b_0})$
