solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+a}{x+y+b}=0$

Question

Estoy tratando de encontrar la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+a}{x+y+b}=0$ donde a y b son constantes.

He intentado puttting z=x+y así, $\frac{dz}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ . He introducido esto en la ecuación para obtener $\frac{dz}{dx} = 1 -(\frac{z+a}{z+b})$ que he simplificado a $\frac{b-a}{z+b}$ y separé variables e integré dando:

$$\frac{z^2}{2} +bz = (b-a)x +c$$

Luego multipliqué por 2 y volví a introducir z=x+y, pero esto no me dio la respuesta correcta, que es $(x+y+b)^2 = 2(b-a)(x+c)$ . ¿Alguien sabe cómo llegar a esta respuesta?

Answer 1

Establecer $x+y+a=u$ Así que.., $1+y'=u'$ y luego $x+y+b=u-a+b$ así que $~~~y'=-\frac{u}{u+b-a}$ o $$u'-1=\frac{-u}{u+b-a}$$ o $$u'=\frac{b-a}{u+b-a}$$ o $$(u+b-a)du=(b-a)dx$$ o $$\frac{u^2}{2}+(b-a)u=(b-a)x+C$$ donde $x+y+a=u$ . Ahora, sustituyendo $u$ que tenemos: $$\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{a^2}2+(x+y)b=(b-a)x+C$$ que es $$\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{b^2}2+(x+y)b=(b-a)x+C-\frac{a^2}2+\frac{b^2}2=(b-a)x+k$$ y $k=C-\frac{a^2}2+\frac{b^2}2$ . Por lo tanto, obtenemos $$\frac{(x+y+b)^2}{2}=(b-a)x+(b-a)c$$ donde $k=(b-a)c$