Un poco de contexto.
Mientras trabajaba en una prueba más amplia, necesitaba demostrar que un sistema homogéneo particular de ecuaciones polinómicas no tenía solución racional excepto la trivial.
He reducido esta tarea al siguiente problema, y si el polinomio enunciado a continuación no tiene raíz racional, se acabó.
La cuestión.
Consideremos el siguiente polinomio de $\mathbb Q[X,Y]$ :
$$P(X,Y)=Y^3(45X^2+18X-9)+Y^2(6X^2-15X+6)+Y(5X^4+15X^3-14X^2-3X-1)-X^5+3X^4+2X^3-X+1.$$
En $P$ tiene una raíz racional?
Algunas observaciones.
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Sé que no existe ningún algoritmo o método general para responder a una pregunta de este tipo, pero dado que se trata de un caso particular, tal vez aquí haya una respuesta.
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Creo que el teorema de Faltings (aunque no lo entiendo muy bien) demuestra que las raíces racionales de $P$ son en número finito.
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Podemos suponer $Y\ne 0$ ya que no existen raíces racionales de la forma $(X,0)$ . Gracias a un comentario de Dietrich Burde, también podemos suponer $X\ne 0$ y $X\ne Y$ .
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Pensé en computar las raíces de $P$ para $Y$ en términos de $X$ y encontrar condiciones para $X$ (condiciones de la forma " $\sqrt{X^4-X^3+1}\in\mathbb Q$ "), pero no me lleva a ninguna parte.
Si tiene curiosidad al respecto, esto es lo que la curva definida por $P$ parece:
Agradecería cualquier aclaración sobre este problema.
Un comentario me preguntaba cuál era el sistema original, así que aquí está:
$$\begin{cases} -x_2^2+x_1x_3-x_4^2-x_2x_5-x_4x_5=0 \\ x_1^2-x_2^2+x_1x_4-3x_3x_4-x_2x_5-3x_3x_5=0 \\ x_1x_2-x_2x_3+x_2x_4-x_4x_5-x_5^2 =0 \\ 3x_2x_3-x_2x_4-x_1x_5=0\\ 3x_3^2-x_1x_4-x_4^2-x_2x_5-x_5^2=0 \end{cases}$$
para $x_1,\ldots,x_5\in\mathbb Q$ .
