Nombre para espacios vectoriales con dos estructuras algebraicas que satisfacen la ley de intercambio

Question

¿Existe un nombre/referencia para el siguiente objeto? Tenemos un espacio vectorial $V$ sobre algún campo con dos operaciones bilineales asociativas $\circ,*:V \times V \to V$ que satisfacen la ley de intercambio, es decir, $$(a*b)\circ(c*d) = (a\circ c)*(b\circ d)$$ para todos $a,b,c,d$ en $V$ . Mi primer instinto fue buscar "bialgebra" pero, por supuesto, eso es una estructura de álgebra y una de álgebra de carbón en lugar de dos estructuras de álgebra...

Answer 1

Si las operaciones tienen unidades ( $a * 1 = a$ etc), entonces se llama simplemente álgebra conmutativa: https://en.wikipedia.org/wiki/Eckmann%E2%80%93Hilton_argument Efectivamente en ese caso, $a*b = a \circ b = b * a = b \circ a$ .

Por lo demás, no sé si existe un nombre establecido. Se trata de un álgebra sobre el producto tensorial de operadas Boardman-Vogt $\mathrm{Ass} \otimes_{BV} \mathrm{Ass}$ donde $\mathrm{Ass}$ es la operada que codifica las álgebras asociativas. Esta estructura no carece de interés y presenta propiedades de conmutatividad oculta no triviales. He aquí un resumen extraído de Productos tensoriales Boardman--Vogt de operadas absolutamente libres (Bremner-Dotsenko)

Los resultados citados proceden de:

• J. Kock: Note on commutativity in double semigroups and two-fold monoidal categories. Journal of Homotopy and Related Structures 2 (2007) no. 2, 217-228.
• M. Bremner, S. Madariaga: Permutación de elementos en semigrupos dobles. Semigroup Forum 92 (2016), no. 2, 335-360.

Si tuviera que elegir un nombre, los llamaría " álgebras dobles ", pero no creo que esto sea estándar. "Semigrupo doble" es ciertamente terminología estándar, pero no hay requisito de linealidad.