Aquí, por simplicidad, sólo consideraremos el sistema de Schrödinger. Supondremos que
$$\phi~=~(\phi^1+i\phi^2)/\sqrt{2} \tag{A}$$
es un campo complejo bosónico, y que
$$\phi^*~=~(\phi^1-i\phi^2)/\sqrt{2} \tag{B} $$
es el conjugado complejo, donde $\phi^a$ son los dos campos de componentes reales, $a=1,2$ . [Nótese el cambio de notación $\psi\longrightarrow\phi$ en comparación con la pregunta del OP (v1)].
- La densidad lagrangiana
$${\cal L}~:=~ i\phi^{*}\dot{\phi} + \frac{1}{2m} \phi^* \nabla^2\phi \tag{C} $$
para la Campo de Schrödinger $\phi$ es ya sobre la forma hamiltoniana
$${\cal L}~=~ \pi\dot{\phi} - {\cal H}. \tag{D} $$
Basta con definir el momento complejo
$$\pi~:=~i \phi^{\ast}, \tag{E} $$
y la densidad hamiltoniana
$${\cal H}~:=~-\frac{1}{2m} \phi^{\ast} \nabla^2\phi. \tag{F} $$
En términos más generales, esta identificación es un ejemplo sencillo de la Método Faddeev-Jackiw .
- Recordemos que el Ecuaciones de Euler-Lagrange no cambian al añadir un $4$ -divergencia $d_{\mu}\Lambda^{\mu}$ a la densidad lagrangiana
$${\cal L} \longrightarrow {\cal L}^{\prime}~:=~{\cal L} + d_{\mu}\Lambda^{\mu},\tag{G}$$
Véase, por ejemplo este Phys.SE post. [Utilizamos el símbolo $d_{\mu}$ (en lugar de $\partial_{\mu}$ ) para subrayar el hecho de que la derivada $d_{\mu}$ es un total derivada, que implica tanto la diferenciación implícita a través de las variables de campo $\phi^a(x)$ y diferenciación explícita wrt. $x^{\mu}$ .] Por tanto, podemos (mediante integración espacial por partes) elegir una densidad hamiltoniana equivalente
$$\begin{align}{\cal H} \longrightarrow {\cal H}^{\prime}~:=~&\frac{1}{2m}|\nabla\phi|^2\cr ~=~&\frac{1}{4m}(\nabla\phi^1)^2 +\frac{1}{4m}(\nabla\phi^2)^2,\end{align}\tag{H} $$
y podemos (mediante integraciones temporales por partes) elegir un término cinético equivalente
$$\begin{align} i\phi^*\dot{\phi}~=~ \pi\dot{\phi} ~~\longrightarrow~&~ \frac{1}{2}(\pi\dot{\phi}-\phi\dot{\pi})\cr ~=~& \frac{i}{2}(\phi^*\dot{\phi}-\phi\dot{\phi}^*)\cr ~=~&\frac{1}{2}(\phi^2\dot{\phi}^1-\phi^1\dot{\phi}^2)\cr ~~\longrightarrow~&~\phi^2\dot{\phi}^1. \end{align}\tag{I} $$
La última expresión muestra (de acuerdo con el método Faddeev-Jackiw) que
$$ \text{The second component }\phi^2 \\ \text{ is the momenta for the first component }\phi^1. \tag{J}$$
- Alternativamente, podemos realizar un análisis de Dirac-Bergmann $^1$ directamente. Consideremos, por ejemplo, la densidad lagrangiana
$${\cal L}^{\prime}~=~ (\alpha+\frac{1}{2})\phi^2\dot{\phi}^1+(\alpha-\frac{1}{2})\phi^1\dot{\phi}^2 - {\cal H}^{\prime},\tag{K} $$
donde $\alpha$ es un número real arbitrario. [El término $d(\phi^1\phi^2)/ dt$ que se multiplica por $\alpha$ en ${\cal L}^{\prime}$ es una derivada total del tiempo]. Comprobemos que el procedimiento de cuantización no depende de este parámetro $\alpha$ . Introducimos paréntesis canónicos de Poisson
$$\begin{align} \{\phi^a({\bf x},t),\phi^b({\bf y},t)\}_{PB} ~=~&0, \cr \{\phi^a({\bf x},t),\pi_b({\bf y},t)\}_{PB} ~=~&\delta^a_b ~ \delta^3 ({\bf x}-{\bf y}), \cr \{\pi_a({\bf x},t),\pi_b({\bf y},t)\}_{PB} ~=~&0,\end{align} \tag{L}$$
de la forma habitual. Los momentos canónicos $\pi_a$ se definen como
$$\begin{align} \pi_1~:=~&\frac{\partial {\cal L}^{\prime}}{\partial \dot{\phi}^1} ~=~(\alpha+\frac{1}{2})\phi^2,\cr \pi_2~:=~&\frac{\partial {\cal L}^{\prime}}{\partial \dot{\phi}^2} ~=~(\alpha-\frac{1}{2})\phi^1.\end{align}\tag{M}$$
Estas dos definiciones dan lugar a dos limitaciones principales
$$\begin{align}\chi_1~:=~&\pi_1-(\alpha+\frac{1}{2})\phi^2~\approx~0,\cr \chi_2~:=~&\pi_2-(\alpha-\frac{1}{2})\phi^1~\approx~0,\end{align}\tag{N}$$
donde el $\approx$ significa restricciones de módulo igual. Las dos restricciones son de segunda clase, porque
$$ \{\chi_2({\bf x},t),\chi_1({\bf y},t)\}_{PB}~=~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y})~\neq~0. \tag{O} $$
Por lo tanto, el paréntesis de Poisson debe sustituirse por el paréntesis de Soporte de Dirac . [No hay restricciones secundarias, porque
$$\begin{align} \dot{\chi}_a({\bf x},t) ~=~&\{\chi_a({\bf x},t), H^{\prime}(t)\}_{DB} ~=~ 0, \cr H^{\prime}(t)~:=~& \int d^3y \ {\cal H}^{\prime}({\bf y},t),\end{align} \tag{P} $$
se satisfacen automáticamente]. El corchete de Dirac entre los dos $\phi^a$ 's es
$$\{\phi^1({\bf x},t),\phi^2({\bf y},t)\}_{DB}~=~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}), \tag{Q}$$
llegando a la misma conclusión (J) que el método Faddeev-Jackiw. Obsérvese que las ecs. (O) y (Q) son independientes del parámetro $\alpha$ .
- En todos los casos, las relaciones canónicas de conmutador de igual tiempo para los operadores correspondientes se convierten en
$$\begin{align} [\hat{\phi}^1({\bf x},t), \hat{\phi}^2({\bf y},t)] ~=~& i\hbar {\bf 1}~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}), \cr [\hat{\phi}({\bf x},t), \hat{\phi}^{\dagger}({\bf y},t)] ~=~& \hbar {\bf 1}~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}), \cr [\hat{\phi}({\bf x},t), \hat{\pi}({\bf y},t)] ~=~& i\hbar {\bf 1}~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}).\end{align} \tag{R}$$
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$^1$ Véase, por ejemplo, M. Henneaux y C. Teitelboim, Cuantización de sistemas gauge, 1992.
