Descomposición del espacio noetheriano en subconjuntos irreducibles

Question

Intento relacionar dos descomposiciones (quizá no) diferentes de un espacio topológico noetheriano en subconjuntos irreducibles, dadas en las notas de Ravi Vakil sobre geometría algebraica.

Ejercicio 4.6.N : Sea $X$ sea un espacio topológico, entonces cualquier punto está contenido en una componente irreducible.

De ello se deduce que cualquier espacio $X$ es la unión de sus componentes irreducibles (cerradas), pero no hay declaración de unicidad.

Proposición 4.16.14 : Sea $X$ sea un espacio topológico noetheriano, y $Z \subseteq X$ un subconjunto cerrado (no vacío). Entonces existe una descomposición única $Z = Z_1 \cup \cdots \cup Z_n$ donde el $Z_i$ 's son subconjuntos cerrados irreducibles, ninguno contiene a otro.

Así, en particular $X$ es una unión finita de conjuntos cerrados irreducibles, pero aquí parece que pueden no ser sus componentes.

El ejercicio no es más que un pequeño ejercicio, mientras que la propuesta parece ser más importante. Así que mi pregunta es : ¿Por qué es más importante la descomposición de la proposición que la del ejercicio?

¿Se debe a la declaración de unicidad? Pero creo que la descomposición de $X$ en sus componentes irreducibles cerradas también satisface esta condición de unicidad.

¿Es porque se aplica a cualquier subconjunto cerrado $Z$ ? Pero $Z$ también tiene la descomposición del ejercicio. Sin embargo, los subconjuntos son irreducibles en $Z$ y no en $X$ ¿así que este es el punto?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que lo más importante de la propuesta es la finitud parte: cualquier espacio topológico noetheriano puede escribirse como un finito unión de subconjuntos cerrados irreducibles.

Esto no es cierto, por ejemplo, $\mathbb{R}$ con la topología habitual. De hecho, los únicos subconjuntos cerrados irreducibles de $\mathbb{R}$ son los singletons, por lo que si bien es cierto que $\mathbb{R}$ es una unión de sus conjuntos cerrados irreducibles (puntos), es una unión incontable de estos conjuntos. No hay información sobre la topología de $\mathbb{R}$ se gana conociendo esta descomposición.

Si quieres pensar en cosas algebraicamente, probablemente sepas que en geometría algebraica la mayoría de los espacios noetherianos con los que tratas son espacios que vienen dados (al menos localmente) por el espectro de un anillo noetheriano. La condición noetheriana de los anillos es importante en álgebra conmutativa porque es un finitud condición, diciendo que el anillo no puede ser demasiado loco. Entonces no debería sorprender que la utilidad de la noetherianidad en el lado geométrico de las cosas sea que impone una finitud condición en los espacios que tratas.

La parte de unicidad de la proposición también es importante, por supuesto, pero una vez que se sabe que un espacio noetheriano puede escribirse como una unión finita de subconjuntos cerrados irreducibles, no hace falta ningún razonamiento profundo para deducir la unicidad.