En $\det \mathcal{H}_f = (n-1)(-1)^{2n+1} \left[ f(x_1, \dots, x_n) \right]^{n-2}$ para $f(x_1, \dots, x_n) = \prod_{j=1}^n x_j$ ?

Question

Sea la función $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ se define por $$f(x_1, \dots, x_n) := \prod_{j=1}^n x_j$$ Como cualquier $C^2$ podemos calcular su Hessian $\mathcal{H}_f$ que será un $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n \times n}$ función. $\mathcal{H}_f$ también debe tener un determinante denotado por $\det \mathcal{H}_f$ .

He calculado $\det H_f$ para $n\in\{2,\dots, 8 \}$ y he llegado a una conjetura que es consistente con todos estos casos. En concreto, parece que

$$ \det \mathcal{H}_f = (n-1)(-1)^{2n+1} \left[ f(x_1, \dots, x_n) \right]^{n-2} $$

¿Es esta ecuación cierta para todos los $n \in \mathbb{N}_{>1}$ ?

Answer 1

Supongamos que $x_j$ son todos distintos de cero (por lo demás, el resultado es fácil de comprobar).

Utilizando Delta de Kronecker y $\det\{c_i a_{ij}\}=\det\{c_j a_{ij}\}=(\prod c_j)\det\{a_{ij}\}$ , $$\det\mathcal{H}_f=\det_{1\leqslant i,j\leqslant n}\{(1-\delta_{ij})x_i^{-1}x_j^{-1}f(x_1,\ldots,x_n)\}=[f(x_1,\ldots,x_n)]^{n-2}\det(\mathbf{1}_n-\mathbf{I}_n),$$ donde $\mathbf{1}_n$ es el matriz all-ones _(y $\mathbf{I}_n$ es el matriz de identidad )_ que tiene valores propios $0$ (de multiplicidad $n-1$ ) y $n$ (de multiplicidad $1$ ), por lo tanto $\det(\lambda\mathbf{I}_n-\mathbf{1}_n)=\lambda^{n-1}(\lambda-n)$ . Así $$\det\mathcal{H}_f=(-1)^{n-1}(n-1)[f(x_1,\ldots,x_n)]^{n-2}.$$