$n$ filas linealmente independientes de la matriz de Vandermonde

Question

Consideremos la matriz "infinita" de Vandermonde $$ V (x_1, x_2, \ldots , x_n) = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & x_1^n & x_1^{n+1} & \cdots \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & x_2^n & x_1^{n+1} & \cdots \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} & x_3^n & x_1^{n+1} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & x_n^n & x_n^{n+1} & \cdots \end{pmatrix} $$ con distintos $x_1, \dots, x_n$ . Es bien sabido que si elegimos la primera $n$ columnas, entonces abarcan todo el espacio.

Me preguntaba si ocurre lo mismo si se eligen arbitrariamente (no necesariamente de forma consecutiva) $n$ columnas en la matriz de Vandermonde "infinita" anterior. He mirado ejemplos sencillos y sugieren que esto es cierto. ¿Existe alguna forma de demostrarlo?

Answer 1

Creo que estás hablando de un Matriz de Vanderrmonde generalizada por lo que el determinante siempre será positivo y la matriz siempre es invertible.

Answer 2

Se me acaba de ocurrir un contraejemplo sencillo.

$$ \left[\begin{matrix} x &x^3\\ -x &(-x)^3\\ \end{matrix}\right] $$

Si todas las columnas son una potencia par o todas son una potencia impar, entonces $x$ y $-x$ son linealmente dependientes.

Además, si cualquier x = 0, cualquier menor que incluya esa fila será singular.

Answer 3

Otro contraejemplo sería para variables complejas cualquier múltiplo real de una n:ª raíz de la unidad $$rx = r e^{\frac{2\pi i}{n}}$$

entonces $$\begin{bmatrix} (rx)^n& (rx)^{2n} \\(rx)^{n+k}&(rx)^{2n+k}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r^n& r^{2n} \\r^{n+k}x^k&r^{2n+k}x^{k}\end{bmatrix}$$

y vemos que la segunda fila es $r^kx^k$ veces el primero.

Para matrices reales la única posibilidad es par e impar porque son las únicas raíces de la unidad que hay pero para complejas podemos tener cualquier entero.