Prueba $x^3 + x +1 = 0$ no tiene soluciones racionales.

Question

Utiliza un método adecuado para demostrar que la ecuación no tiene soluciones racionales: $$x^3 + x + 1 = 0$$ o dar un contraejemplo que demuestre lo contrario.

Intenté hacer esta pregunta mediante factorización polinómica y contradicción.

Sea $$f(x) = x^3 + x + 1 = 0$$

Por factorización polinómica suponiendo que hay una raíz $r$ ,

$$f(x) = (x-r)(x^2 + xr + r^2 + 1)$$

$$f(x) = (x^3 + rx^2 + xr^2 + x - rx^2 - xr^2 - r^3 - r)$$

$$f(x) = (x^3 + x - r^3 - r)$$

Comparación de los coeficientes:

$$r^3 - r = 1$$

A partir de aquí, podemos suponer que la raíz $r$ existe, y por lo tanto, hemos demostrado por contradicción que existe una raíz.

Quiero preguntar si mi prueba es correcta.

Answer 1

(Creo que la pregunta es interesante: no porque sea especialmente perspicaz, sino porque tiene un fallo que suelen cometer los recién llegados)

Su prueba no es correcta, por dos razones:

• Un pequeño error de cálculo, que da la ilusión de haber descubierto algo.
• Un gran error lógico.

Empecemos por el menor:

En $f(x) = x^3+x+1=(x-r)(x^2 + xr + r^2 + 1)=x^3 + x - r^3 - r$ se escribe que, comparando coeficientes, se obtiene $r^3 - r = 1$ . Está mal.

En realidad, comparando coeficientes, se tiene

$$x^3+x+1=x^3+x-r^3-r$$ $$1=-r^3-r$$ $$r^3+r+1=0$$

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Ahora, el mayor problema. Te gustaría encontrar una prueba por contradicción. Inicialmente, usted quiere demostrar que el polinomio $x^3+x+1$ no tiene raíz racional. Es decir, cualquier número complejo $r$ tal que $r^3+r+1=0$ satisface $r\notin \Bbb Q$ .

Para encontrar una prueba por contradicción, tendrías que asumir $r$ es una raíz, y $r$ es racional, y encontrar una contradicción.

Aquí, sólo asumió que $r$ es una raíz. No hay ninguna contradicción, ya que cualquier polinomio con coeficientes complejos y grado $n>0$ tiene exactamente $n$ raíces complejas. En tiene raíces, por lo tanto no habrá contradicción suponiendo que tenga una raíz.

Con su suposición, y después de corregir el pequeño error de cálculo, resulta que $r^3+r+1=0$ . ¡Pero esa es la suposición! Usted asumió $r$ es una raíz de $x^3+x+1$ es decir, exactamente que $r^3+r+1=0$ y descubres que la misma igualdad es cierta.

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Así que su prueba por contradicción en este estado actual es discutible. Sin embargo, todavía es posible hacerlo, utilizando la idea detrás de la más general teorema de la raíz racional .

Supongamos que $r$ es una raíz racional de $x^3+x+1$ . Es decir, hay enteros coprimos $a$ y $b$ tal que $r=a/b$ y $r^3+r+1=0$ . El hecho importante, aquí, es que un número racional es el cociente de dos coprimo enteros.

Entonces:

$$\frac{a^3}{b^3}+\frac ab+1=0$$

$$a^3+ab^2+b^3=0$$

Ahora tenemos fácilmente una contradicción: como la suma es cero y dos de los tres términos son divisibles por $b$ entonces el tercero también debe ser divisible por $b$ . Sin embargo, según nuestras suposiciones, es coprima de $b$ .