¿Qué ley del logaritmo se aplica al decir $3^{\log_{2} (n )} = n^{\log_{2}( 3)}$ ? ¿O hay alguna ley matemática complicada?

Question

$$3^{\log_{2} (n)} = n^{\log_{2}(3)}$$ ¿Cómo surgió la magia? O es que lo he leído mal.

Answer 1

Es esencialmente debido a la ley exponencial $(a^b)^c=a^{bc}$ :

$$3^{\log_2(n)}=(2^{\log_2(3)})^{\log_2(n)}=2^{\log_2(3) \cdot \log_2(n)} = (2^{\log_2(n)})^{\log_2(3)}=n^{\log_2(3)}$$

Answer 2

Aviso $a^{\log_a b\log_a c} = (a^{\log_a b})^{\log_a c} = b^{\log_a c}$ .

Pero también podríamos concluir $a^{\log_a b\log_a c} = (a^{\log_a c})^{\log_a b} = c^{\log_a b}$ .

Así que, sí, $b^{\log_a c} = c^{\log_a b}$ .