encontrar todos los puntos de la recta $y = 1 - x$ que son $2$ unidades de $(1, -1)$

Question

Realmente estoy luchando con esto. Me estoy enseñando a mí mismo pre-calc de un libro y no me está mostrando cómo hacer esto. He buscado por todo internet y sólo he encontrado unos pocos ejemplos. Sólo sé cómo resolver ecuaciones cuadráticas convirtiéndolas a la forma vértice y me gustaría seguir con este método hasta que realmente se hunde en. ¿Qué estoy haciendo mal?

1.) Fórmula de la distancia $\sqrt{(x-1)^2 + (-1 -1 + x)^2}=2$

2.) eliminar sqrt, $(x - 1)(x - 1) + (x - 2)(x - 2) = 4$

3.) multiplicar, $x^2 - 2x +1 + x^2 -4x +4 = 4$

4.) combinar, $2x^2 -6x +5 = 4$

5.) forma general, $2x^2 -6x +1$

6.) convertir a forma de vértice (hallar el cuadrado), $2(x^2 - 3x + 1.5^2)-2(1.5)^2+1$

7.) Forma de vértice, $2(x-1.5)^2 -3.5$

8.) Resuelve para x, $x-1.5 = \pm\sqrt{1.75}$

9.) $x = 1.5 - 1.32$ y $x = 1.5 + 1.32$

10.) $x = 0.18$ y $2.82$

Cuando conecto estos dos $x$ valores de nuevo en la forma de vértice de la ecuación cuadrática, estoy recibiendo $y = 0.02$ tanto para $x$ valores. Estos puntos no están en la línea. ¿Puede alguien decirme qué estoy haciendo mal, por favor?

Answer 1

Otra forma, posiblemente más sencilla, de abordar esta cuestión es hallar los puntos de intersección entre una circunferencia centrada en $(1,-1)$ con radio $2$ y $y=1-x.$

La ecuación del círculo sería $$(x-1)^2+(y+1)^2=4$$ La ecuación de la recta es $$y = 1-x$$

Podemos enchufar $1-x$ para $y$ en la ecuación del círculo para obtener $$(x-1)^2+(2-x)^2=4$$ Ampliando, $$x^2-2x+1+4-4x+x^2=4$$ o $$2x^2-6x+1=0$$ Si utilizas la ecuación cuadrática, obtendrás $\frac32\pm\frac{\sqrt 7}2$ . Si volvemos a introducir cualquiera de las dos ecuaciones (preferiblemente la ecuación lineal), obtendremos las coordenadas como $(\frac32\pm\frac{\sqrt 7}2,-\frac12\pm\frac{\sqrt 7}2)$

Answer 2

Ya que tiene la forma general $2x^2-6x+1=0$

Ahora resuelve para x, $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$x=\dfrac32\pm\dfrac12\sqrt{7},$$

Ahora intente introducir estos valores de $x$ .

Edita:

$$2(x-1.5)^2-3.5=0$$ $$2(x^2+2.25-3x)=3.5$$ $$x^2-3x+2.25=1.75$$ $$x^2-3x+0.5=0$$ $$2x^2-6x+1=0$$

Answer 3

Usted tiene

$2x^2 - 6x + 1 = 0$

Esto tiene buena pinta.

entonces diría $x = \frac {3\pm\sqrt 7}{2}$ es más sencillo que $x = 1.5 \pm \sqrt {1.75}$

Introduzca cada valor de $x$ en $y = 1-x$ encontrar $y.$

$y = 1 - \frac {3+\sqrt 7}{2} = \frac {-1-\sqrt 7}{2}\\y = 1 - \frac {3-\sqrt 7}{2} = \frac {-1+\sqrt 7}{2}$

Answer 4

Aparte de truncar las respuestas a sólo unos pocos dígitos significativos, lo que puede echar a perder las cosas, todo va bien hasta el último paso, cuando se intenta calcular la correspondiente $y$ -valores. Se obtienen introduciendo los valores $x$ -valores que has computado en la ecuación $y=1-x$ de la línea . Si lo haces así, no podrás evitar obtener puntos que se encuentran sobre la recta, suponiendo, por supuesto, que hayas resuelto correctamente la ecuación cuadrática. En concreto, los dos puntos de la recta son $(0.18, 0.82)$ y $(2.82, -1.82)$ o, más exactamente, $\left(\frac32+\frac{\sqrt7}2,-\frac12+\frac{\sqrt7}2\right)$ y $\left(\frac32-\frac{\sqrt7}2,-\frac12-\frac{\sqrt7}2\right)$ .

Answer 5

Después de conseguir esas dos raíces $ (x_1,x_2) $ obtenemos lo siguiente introduciendo $ (1-y)$ para $x$ una segunda cuadrática en $y:$

$$ 2y^2+2y-3=0$$

que proporciona las raíces correspondientes

$$ (y_1,y_2)= \frac{-1\pm \sqrt7}{2}.$$