¿Cómo se evalúa la integral compleja? $(z^{-n})/(e^z−1) $ utilizando la teoría de los residuos?

Question

Aquí teníamos una pregunta parecida:

¿Cómo se evalúa la integral compleja? $(z^n)/(e^z - 1)$ utilizando la teoría de los residuos?

y la respuesta fue que (de forma bastante poco sorprendente) podíamos eliminar la singularidad hecha por $1/(e^z-1)$ para $z=0$ y concluye Res $((z^n)/(e^z-1))=0$ para todos $n>0$ y Res $(1/(e^z-1))=1$ .

Creo que este cálculo de residuos se vuelve bastante más interesante cuando ponemos un $-$ frente al $n$ . Entonces tenemos un polo de orden (n+1) en $z=0$ . ¿Podemos calcular el residuo de otra forma que no sea con esta fórmula límite ?

Answer 1

Los coeficientes de la serie de potencias $z/(e^z-1)$ son por definición los números de Bernoulli (divididos por un factorial), por lo que son los residuos de su función.

Ahora la pregunta sigue siendo qué entiende usted por "calcular", es decir, qué tipo de respuesta busca.