Topología: tapas transversales y asas

Question

Tengo dificultades con el siguiente ejercicio:

Sea $A$ sea una superficie compacta conexa. $\quad$ Decimos que un crosscap $\otimes$ se inserta en $A$ si un disco abierto $D$ se elimina de $A$ y puntos opuestos de la frontera circular resultante $\partial D$ están identificados. $\quad$ Decimos que un asa está unida a $A$ si se retiran dos discos abiertos de $A$ y se identifican sus límites. $\quad$ Ahora, muestra eso:

a) insertar una tapa transversal en $A$ equivale a pegar una tira de Moebius en el hueco resultante de quitar un disco,

b) fijar un asa a $A$ es equivalente a formar la suma conexa $A \# T^2$ .

Por desgracia, no tengo ni idea de cómo mostrarlo. Además, ni siquiera sé qué significa "pegar una tira de Moebius en el agujero". ¿Pegarla de qué manera?

Answer 1

Todo esto puede hacerse sin recurrir a la clasificación de superficies ni al teorema de Seifert-van Kampen. En cambio, yo diría que una buena comprensión de este problema es un paso importante en (algunos tratamientos de) la prueba de la clasificación de superficies.

Para (a), utilicemos $p : A - D \to F$ sea el mapa cociente. Además, sea $D'$ sea un disco abierto mayor cuyo interior contenga $D$ concéntricamente. Consideremos los círculos límite $C' = \partial D'$ y $C = \partial D$ y que $R$ sea el anillo compacto en $A$ con $\partial R = C' \cup C$ .

Pregunta: ¿Cuál es la imagen de $R$ bajo el mapa cociente $p$ ?

Respuesta: Esa imagen $p(R)$ es homeomorfo al espacio cociente de $R$ donde los puntos opuestos de $C$ se identifican, y se puede demostrar por construcción directa que es homeomorfa a una banda de Möbius que denotaré $M = p(R)$ . Por lo tanto, eliminar $D$ y pegando puntos límite opuestos de $C$ resultados en la misma superficie que eliminar $D'$ y pegado en la banda de Möbius $M = p(A)$ identificando el círculo $p(C') \subset p(A)$ con el límite de $M$ por un homeomorfismo.

Para (b) la formulación no es del todo correcta: hay que tener cuidado con las orientaciones. Supongamos que $A$ es orientable, en cuyo caso hay que elegir una orientación en $A$ que induce una orientación en $A-(D_1 \cup D_2)$ y por lo tanto induce orientaciones límite en cada círculo $C_i = \partial D_i$ y entonces hay que exigir que el homeomorfismo de pegado $C_1 \mapsto C_2$ invierte las orientaciones de los límites. El peligro es que si en lugar de ello se preservan las orientaciones de los límites, el resultado es $A \# K$ donde $K$ es la botella Klein. (El estuche que $A$ es no orientable es más complicado, lo que lleva a la conclusión de que $A\#T$ y $A\#K$ son homeomórficas).

Así que, con esa salvedad sobre las orientaciones, hay una respuesta similar, pero se necesita una construcción preliminar. Sea $D_1,D_2$ sean los dos discos abiertos que se eliminan, y denotemos sus círculos límite $C_i = \partial D_i$ . Lo que necesitas a continuación es que exista un disco abierto $D \subset A$ que "engulle" a ambos $D_1,D_2$ en el sentido de que en un sistema de coordenadas apropiado en $D$ los discos $D_1,D_2$ son subdiscos redondos disjuntos de $D$ . Una forma de ver esto, utilizando la conectividad del camino, es construir un camino incrustado $\gamma$ en $A$ cuya intersección con $D_i$ es un único punto de $C_i$ entonces se puede tomar $D$ sea una vecindad regular de $D_1 \cup \gamma \cup D_2$ que se puede demostrar por construcción directa que es homeomorfo a un disco con subdiscos como se ha dicho.

Una vez que haya $D$ Ahora dejemos que $P$ sea la subsuperficie compacta "pantalón" de $D$ con $\partial P = \partial D \cup \partial D_1 \cup \partial D_2$ . Se puede demostrar, de nuevo por construcción directa, que cuando el mapa cociente $p : A - (D_1 \cup D_2) \to F$ se limita a $P$ la imagen $p(P)$ es un toroide.