Homomorfismos de grupos diedros a grupos cíclicos

Question

He encontrado un hilo con una pregunta similar, pero la respuesta dada no me ayudó por desgracia. Estoy realmente confundido con el tema. He hecho esta pregunta antes, pero no puedo trabajar la respuesta de las pistas por desgracia.

La cuestión es:

Sea G el grupo diédrico de orden 14 y A=C2 un grupo cíclico de orden 2.

Encuentre todos los homomorfismos tales que GA

.

Gracias de antemano

Answer 1

Sea $\phi:G\to A$ sea un homomorfismo de este tipo. Consideremos primero la imagen de $\phi$ que debe ser un subgrupo de $A\cong C_2$ . $A$ sólo tiene dos subgrupos, a saber, el grupo trivial $\{1\}$ y $A$ sí mismo. Si la imagen es $\{1\}$ el homomorfismo es trivial (pero ciertamente es un homomorfismo).

De lo contrario, la imagen debe ser todo el grupo $A$ (es decir $\phi$ es suryectiva). Por el teorema del isomorfismo se sabe que $|G|=|\ker(\phi)|\cdot|\text{im}(\phi)|$ . Así que cuando $\phi$ es suryectiva, su núcleo debe ser un subgrupo (normal) de orden $7$ . Puede demostrar que $D_{14}$ sólo tiene un subgrupo de este tipo, a saber, el grupo de rotaciones (por ejemplo, utilizando los teoremas de Sylow). Además, el homomorfismo está completamente determinado por su núcleo. Por lo tanto, existe exactamente un homomorfismo no trivial $$G\cong D_{14}\cong C_7\rtimes C_2 \to (C_7\rtimes C_2)/C_7 \cong C_2$$

Ahora dos tu segunda versión de la pregunta: ¿y si $A=C_7$ ? También tenemos el homomorfismo trivial (que mapea todo a $1$ ). Y para una no trivial se necesitaría $|\ker(\phi)|=2$ . $D_{14}$ tiene efectivamente subgrupos de ese orden (de hecho hay $7$ si no me equivoco). Pero ninguno de ellos es normal en $D_{14}$ . El núcleo de un homomorfismo tendría que ser normal. Por lo tanto, no existe ningún homomorfismo no trivial de $D_{14}$ a $C_7$ . Buena suerte :)