¿Por qué decimos que los tres vectores son Linealmente dependientes?

Question

Consideremos la matriz $$A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$$

Podemos ver que $$1\vec{C_1}+1\vec{C_2}+0\vec{C_3}=\vec{0}$$ y decimos que los tres vectores columna $\vec{C_1},\vec{C_2},\vec{C_3}$ son linealmente dependientes. Pero no podemos expresar $\vec{C_3}$ en términos de $\vec{C_1}, \vec{C_2}$ ¿Verdad?

Porque leí la definición como: El conjunto de vectores $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}$ es linealmente dependiente si $$ r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2}+\cdots+r_{k} x_{k}=0 $$ para algunos $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k} \in \mathbb{R}$ donde al menos uno de $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k}$ es distinto de cero.

Answer 1

Los conjuntos linealmente dependientes no requieren que TODOS los vectores puedan escribirse como suma de los demás, sólo que al menos UNO pueda serlo. En este caso, puedes escribir los dos primeros en términos de cada uno de los otros.