Cómo saber si he probado una alegación (con ejemplo)

Question

Tengo un problema de deberes y quiero intentar entender el proceso sin seguir pasos de otras fuentes externas. Entiendo la lógica básica y he hecho un puñado de pruebas introductorias hasta este punto. Mi problema es que, cuando estoy haciendo mi trabajo de raspado y recopilando pruebas, a veces puedo sentir que acabo de cerrar el círculo y no he abordado la afirmación o que he completado la prueba pero no soy consciente de ello.

Para este problema, me pedía que lo demostrara: Para todos los números reales positivos $x$ la suma de $x$ y su recíproco es mayor o igual que $2$ .

Este es mi trabajo actual:

Supongamos que $x + \frac{1}{x} \geq 2$ donde $x \in\mathbb{R}$ y $x > 0$ .

Multiplicar por $x$ obtenemos $x(x+\frac{1}{x})\geq2x$

Y $x(x+\frac{1}{x})=x^{2}+1\geq2x$

Restar $2x$ de ambos lados da $x^{2}-2x+1\geq0$

Y además vemos $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\geq0$ que es cierto para cualquier número real $x$ .

Así se ha demostrado. $\square$

¿Esto cuenta como prueba? No estoy seguro de que mi suposición sea la correcta. Entendí que usted asume $P$ y demostrar que significa $Q$ es cierto. Pero en este caso parece que estoy asumiendo $P\rightarrow Q$ lo que no tiene sentido para mí.

Para que quede claro, ¿podría alguien explicarme el fundamento lógico de una prueba como ésta? ¿Qué se considera demostrado y por qué lo que se demuestra justifica la afirmación de que está demostrado?

Answer 1

No, esto no es una prueba. Usted comenzó con la afirmación $x + 1/x \geq 2$ y derivó una afirmación verdadera. Para proporcionar una prueba, debe comenzar con afirmaciones verdaderas conocidas y derivar el hecho de que $x + 1/x \geq 2$ .

Esencialmente, hiciste la prueba al revés.

La prueba correcta sería la siguiente:

Tenga en cuenta que $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ . Añadir $2x$ a ambos lados, vemos que $x^2 + 1 \geq 2x$ . Ahora bien $x$ es positivo, podemos dividir ambos lados por $x$ para ver que $x + 1/x \geq 2$ según sea necesario.

Si realmente quieres saber que has proporcionado una prueba completa, traducirías esto en una prueba formal y proporcionarías una justificación rigurosa de cada paso.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Mark Saving. Un enfoque alternativo (válido) sería una prueba por contradicción.

Es decir, usted comenzaría con la premisa de que

$$x + \frac{1}{x} < 2 ~: ~x \in \Bbb{R^+}. \tag1 $$

Entonces, siguiendo prácticamente los mismos pasos que usted dio, llegaría a la conclusión de que

$$(x - 1)^2 < 0. \tag2 $$

Entonces, razonaría que (2) anterior es imposible. Por lo tanto, dado que (2) estaba implícito en (1), (1) es imposible.

Answer 3

Sí, estás suponiendo lo que hay que demostrar al escribir "Supongamos que $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ". Como prueba alternativa a la respuesta de Mark Saving, puede utilizar AM-GM:

$$\frac{\displaystyle x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} \\ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq 1 \\ \displaystyle x + \frac{1}{x} \geq 2.$$ Esta desigualdad es válida para todos los $x > 0$ . Por lo tanto, $x + \frac{1}{x} \geq 2$ para $x>0$ .