¿Cuántos $3$ -Cadenas de letras de proceden de $ABRACADABRA$ ?

Question

¿Cuántas cadenas de tres letras hay que procedan de la palabra $ABRACADABRA$ ?

Sé que puedo dividir esto en casos, pero esperaba que hubiera una forma mejor de resolverlo.

Answer 1

He aquí un enfoque que utiliza funciones generadoras exponenciales. Si esto es una mejora sobre el análisis caso por caso depende de cómo te sientas sobre el álgebra y tal vez cómo te sientas sobre el uso de un sistema de álgebra computacional. Personalmente, utilizo un CAS y no me siento culpable.

En términos más generales, veamos si podemos encontrar cuántos $r$ -se pueden formar palabras con letras; llame a este número $a_r$ . Definir la función generadora exponencial de $a_r$ por $$f(x) = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} a_r x^r$$ Entonces es "fácil de ver" (ejem) que $$f(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2 +\frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 +\frac{1}{5!}x^5) \cdot (1+x+\frac{1}{2!}x^2)^2 \cdot (1+x)^2$$ Si ampliamos esto (probablemente utilizando un CAS), tendremos la solución del problema para todos los valores de $r = 0, 1, 2, \dots , 11$ . Pero para su problema, todo lo que realmente necesitamos es el coeficiente de $\frac{1}{3!} x^3$ . Es posible encontrar este coeficiente con lápiz y papel sin mucho trabajo, pero hacerlo es muy similar al análisis caso por caso, así que no estoy seguro de que sea una mejora respecto al enfoque caso por caso.

Utilizando un CAS, resulta que el coeficiente de $x^3$ es 97/6, por lo que el coeficiente de $\frac{1}{3!} x^3$ es 97. Esa es tu respuesta.

Answer 2

Mi enfoque:

Caso 1. Cadenas de la forma $AAA$ :

1

Caso 2: Cadenas de la forma $AAB$ : $\binom{3}{1} * 4 * \frac{3!}{2!} = 36$

Caso 3: Cadenas de la forma $ABC$ : $\binom{5}{3}*3! = 5*4*3 = 60$

Total = $1+36+60=97$

Answer 3

No veo un enfoque directo, pero podría dividir el problema en $3$ casos:

(1) Cuando todas las letras son distintas, entonces hay $5\cdot 4\cdot 3$ cadenas (hay exactamente $5$ letras distintas).

(2) Cuando exactamente dos (de las tres) letras son idénticas, sólo pueden ser $3$ formas de elegir estas letras (A, B o R), entonces la letra restante puede ser cualquiera de las $4$ letras restantes que luego se pueden colocar en cualquiera de las $3$ posiciones de la cadena (así, obtenemos $3\cdot 4\cdot 3$ cadenas de este tipo)

(3) Cuando todos $3$ letras son idénticas, entonces todas deben ser A (por lo tanto, sólo hay $1$ cadena de este tipo).

Añadiendo los resultados del $3$ casos da la respuesta $97$ .

Answer 4

Creo que es así:

$$\binom{11}{3} \cdot \frac{11!}{5! \cdot 2! \cdot 2!}$$

Desea una cadena de $3$ letras, así que de las 11 letras posibles eliges tres. Pero tienes que tener en cuenta que hay $5$ $A$ s, $2$ $B$ s y $2$ $R$ s.