He buscado mucho una respuesta convincente a esta pregunta, pero no la he encontrado (que sea formalmente completa).
Me pregunto si la siguiente afirmación es cierta y, en caso afirmativo, una prueba formal.
Reclamación:
Sean dos series de potencias $\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$ y $\sum^{\infty}_{n=0}b_nx^n$ con radios de convergencia $R_1$ y $R_2$ respectivamente s.t $R_2\ge R_1>0$ . Supongamos que para algunos $R_1>b>a>0\;\;\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n=\sum^{\infty}_{n=0}b_nx^n\;\;\forall x\in(a,b)$ . Entonces: $a_n=b_n\;\forall n\in\mathbb{N}$ .
Sé exactamente cómo demostrar un teorema similar, cuando las dos series de potencias se identifican en un intervalo abierto que contiene cero se pueden calcular las derivadas a cero y obtener así la igualdad deseada. Sin embargo, no pude probar este caso cuando cero no está contenido por el intervalo . Esta es exactamente la parte crucial para la que no encuentro una solución adecuada.
Agradecería mucho cualquier ayuda al respecto.
