¿Encuentra los límites superior e inferior de la suma de las distancias de Hamming?

Question

Dado un $[n,M,d]$ código, encontrar un límite superior e inferior para la suma

$$\sum_{u,v \in C \\ u \neq v} d_{H} ( u,v)$$

Según tengo entendido, el límite inferior de cualquier distancia hamming es 1, por lo que el límite inferior de la suma deberían ser los elementos de un $M\times n$ ¿matriz - 1? Honestamente, ni siquiera sé por dónde empezar más allá de eso.

Answer 1

Desde $d\leq d_H(u,v)\leq n,$ para todos $u\neq v,$ se obtiene el límite inferior $$ d\binom{M}{2} $$ y el límite superior $$ n\left[\binom{M}{2}-1\right]+d $$ ya que al menos un par de palabras clave debe estar a una distancia $d$ .