resolver $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3}{e^x}$ utilizando la regla de L'Hospitals

Question

Tengo problemas con esta pregunta. Sé que la respuesta es 0 pero sigo obteniendo infinito sobre infinito. Estoy utilizando la regla de L'Hospitals. Cualquier ayuda sería muy apreciada :)

edit* Sólo he utilizado la regla de L'Hospitals una vez. edit*** Ahora funciona cuando la uso 3 veces :)

Answer 1

Habrá situaciones en las que necesite utilizar la regla de L'Hospital más de una vez y, en este caso, deberá aplicarla tres veces: $$\lim_{x\to\infty} \frac {x^3}{e^x} \quad \overset{L'H}{=}\quad \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2}{e^x}\quad \overset{L'H} = \quad \lim_{x\to\infty} \frac{6x}{e^x}\quad \overset{L'H} =\quad \lim_{x\to \infty}\frac{6}{e^x} = 0$$

Puede aplicar L'Hospital repetidamente, siempre y cuando (y sólo mientras) su límite evalúe a un forma indeterminada.

Answer 2

Otro enfoque posible es utilizar el hecho de que para cualquier $x>0$ la cantidad $e^x$ es el límite de la secuencia creciente dada por $a_n = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ Así, por ejemplo, $e^x > a_4$ y: $$0<\frac{x^3}{e^x}<\frac{x^3}{(1+x/4)^4}=\frac{1}{1+x/4}\cdot\left(\frac{x}{1+x/4}\right)^3<\frac{4^3}{1+x/4},$$ donde el límite de la RHS para $x\to +\infty$ es claramente cero.