Acción de Galois sobre el giro de Tate

Question

Esta cuestión se planteó en el documento de Greenberg (véase el capítulo 2 del artículo nº 28). aquí ) sobre la teoría Iwasawa de curvas elípticas. Es un punto pequeño, pero me gustaría ver más detalles. Corrige $p$ y que $E$ sea una curva elíptica sobre un campo numérico $K$ con una buena reducción ordinaria en un prime $v\mid p$ . Entonces el grupo de Galois absoluto $G_{K_v}$ actúa sobre el núcleo $A\cong \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ del mapa de reducción suryectiva $E[p^\infty]\rightarrow \tilde E[p^\infty]$ por un personaje $\varphi:G_{K_v}\rightarrow \mathbb{Z}_p^\times$ desde $\operatorname{Aut}(A)\cong \mathbb{Z}_p^\times$ . Greenberg menciona que la acción de $G_{K_v}$ en el giro Tate $\hat A(1):= \hom(A,\mu_{p^\infty})$ viene dada por $\chi\varphi^{-1}:G_{K_v}\rightarrow \mathbb{Z}_p^\times$ donde $\chi:G_{K_v}\rightarrow \mathbb{Z}_p$ es el carácter ciclotómico procedente de la acción de $G_{K_v}$ sobre las raíces de la unidad. ¿Por qué es esto (la afirmación en negrita) cierto?

Desglosando las cosas, sé que, dadas dos representaciones $\varphi: G\rightarrow \operatorname{Aut}(V)$ y $\chi:G\rightarrow \operatorname{Aut}(W)$ la representación $\rho$ en $\hom(V,W)$ viene dada por la definición de $\rho(g)f$ para $f\in \hom(V,W)$ sea la función \begin{align}\tag{1} v\mapsto \chi(g)\big(f(\varphi(g)^{-1}(v))\big). \end{align} Así que, intuitivamente, puedo ver dónde está el $\chi\varphi^{-1}$ viene. Pero supongo que estoy luchando un poco para desentrañar cómo (1) se traduce a lo anterior en el caso de representaciones unidimensionales. Es decir, dados los caracteres $\varphi,\chi: G\rightarrow F^\times$ procedentes de dos acciones de grupo sobre $A$ y $B$ digamos, ¿cómo se reduce (1) al carácter $\chi\varphi^{-1}:G\rightarrow F^\times$ procedente de la acción sobre $\hom(A,B)$ ?

Answer 1

Casi has respondido a tu propia pregunta.

Existe una biyección entre (...) representaciones unidimensionales y (...) caracteres, donde (...) representa algunos adjetivos: por ejemplo, continuo, suave, etc.

En cualquier caso, esta biyección viene dada de la siguiente manera: si $\chi: G\rightarrow F^\times$ es un carácter, entonces la representación unidimensional $(\rho, V)$ asociado a $\chi$ viene dada por $\rho(g)(v) = \chi(g)\cdot v$ para cualquier $v\in V$ donde $V$ es un espacio vectorial unidimensional sobre $F$ .

Ahora sólo es cuestión de escribir las cosas.

Tenemos dos personajes $\phi,\chi:G\rightarrow F^\times$ y, por tanto, dos representaciones unidimensionales $(\rho_\phi, A)$ y $(\rho_\chi, B)$ . Lo anterior dice que $\rho_\phi(a) = \phi(g)\cdot a$ y $\rho_\chi(b) = \chi(g)\cdot b$ para cualquier $a \in A, b \in B$ .

Por lo tanto, para cualquier $f \in \operatorname{hom}(A, B)$ y cualquier $g\in G$ su fórmula (1) para $\rho(g)(f)$ se traduce como: $$\rho(g)(f): v \mapsto \rho_\chi(g)(f(\rho_\phi(g)^{-1}(v))) = \chi(g)\cdot f(\phi(g)^{-1}\cdot v)= (\chi\phi^{-1})(g)\cdot f(v).$$ Esto significa que $\rho(g)(f) = \chi\phi^{-1}(g) \cdot f$ . Puesto que es cierto para todos $f \in \operatorname{hom}(A, B)$ y todos $g\in G$ vemos que la representación unidimensional $\operatorname{hom}(A, B)$ corresponde al carácter $\chi\phi^{-1}$ .