Prueba $\sin(x) > x - \frac{x^3}{3!} $ en $(0, \sqrt{20})$

Question

Estoy teniendo un poco de problemas con esto porque mi intento de prueba se rompe.

Pruebas: Basta con demostrar que $f(x) = \sin(x) - x + \frac{x^3}{3!} > 0$ en $I = (0, \sqrt{20})$ . Esto es cierto si $f'(x)$ es estrictamente creciente en el intervalo y $f(0) \geq 0$ . Podemos aplicar esta propiedad también a las derivadas primera y segunda. Observamos que $f^{(3)}(x) = -\cos(x) + 1$ . Sin embargo, sólo puedo demostrar que $f^{(3)}(x) \geq 0$ en $I$ ya que en $x = \frac{3\pi}{2}$ $f^{(3)}(x) = 0$

Answer 1

Vas por buen camino. La función $f(x) = \sin(x) - x + \frac{x^3}{3!}$ satisface $f(0) = f'(0) = f''(0) = 0$ y $$ f^{(3)}(x) = -\cos(x) + 1 \ge 0 $$ con igualdad sólo en los puntos $x_k = \frac \pi 2 + 2 k\pi$ , $k \in \Bbb Z$ . De ello se deduce que $f''$ es estrictamente creciente en cada intervalo $[x_k, x_{k+1}]$ Por lo tanto $f''$ es estrictamente creciente en $\Bbb R$ y estrictamente positivo en $(0, \infty)$ .

Ahora puede concluir que $f'$ y en consecuencia $f$ son estrictamente crecientes en $[0,\infty)$ y, por lo tanto $f(x) > 0$ para todos $x > 0$ .

Answer 2

Puede demostrarlo directamente: $$f(x)=\sin(x) - x + \frac{x^3}{3!}>0,x>0;\\ f'(x)=\cos (x) -1+\frac{x^2}{2}>0 \iff \left(\frac x2\right)^2>\sin ^2 \left(\frac x2\right) \iff \\ \left(\frac x2-\sin \frac x2\right)\left(\frac x2+\sin \frac x2\right)>0 \iff \\ \frac x2-\sin \frac x2>0 \iff \frac x2>\sin \frac x2,x>0$$ Nota:

1) $\cos (x)-1=-2\sin ^2 \left(\frac x2\right)$ .

2) $x>\sin x, x>0$ es cierto, porque $g(x)=x-\sin x$ es estrictamente creciente.

Answer 3

Pues bien, consideremos la expansión en serie de $\sin(x)$ : $$ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots $$ Así que a partir de su definición de $f(x)$ , $$ f(x)=\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\geq \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} $$ Podemos resolver la desigualdad $$ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}>0\Leftrightarrow42-x^2>0\Leftrightarrow x<\sqrt{42} $$ desde $x>0$ .

Así que cuando $0<x<\sqrt{42}$ tu desigualdad es cierta.

En realidad no sé dónde está el $\sqrt{20}$ en la pregunta. ¿Alguien tiene alguna pista?

Answer 4

Para $x\ge0$ integrando desde $0$ en cada paso: $$ \cos(x)\le1\\ \Downarrow\\ \sin(x)\le x\\ \Downarrow\\ 1-\cos(x)\le\tfrac12x^2\\ \Downarrow\\ x-\sin(x)\le\tfrac16x^3\\ $$ Por lo tanto, para todos $x\ge0$ , $$ \sin(x)\ge x-\tfrac16x^3 $$