Sea $P: \mathbb C \to \mathbb C$ sea un polinomio no constante y $c>0$ . Sea $\Omega =\{z\in\mathbb C : |P(z)|<c\}$ .
No puedo entender cómo el principio máximo implica que cada componente conectada de $\Omega$ contiene al menos un cero de $P$ .
Respuesta
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Sea $U$ sea un componente conexo de $\Omega$ . Entonces tenemos $\lvert P(z)\rvert = c$ en $\partial U$ - si $\lvert P(z_0)\rvert \neq c$ entonces existe un $r > 0$ con $\lvert P(z) - P(z_0)\rvert < \bigl\lvert \lvert P(z)\rvert-c\bigr\rvert$ para $\lvert z-z_0\rvert < r$ y el disco $D_r(z_0)$ está completamente contenida en $U$ o no se cruza $U$ en absoluto.
Desde $P$ no es constante, $\Omega$ y, por tanto $U$ está acotada. Por definición, tenemos $\lvert P(z)\rvert < c$ en $U$ . Así que si $P$ no tenía cero en $U$ la función
$$f(z) = \frac{1}{P(z)}$$
sería holomorfa en el conjunto abierto acotado $U$ continua en $\overline{U}$ y satisfacen
$$\lvert f(z)\rvert > \frac{1}{c} = \sup_{\zeta\in\partial U} \lvert f(\zeta)\rvert,$$
para algunos (todos) $z\in U$ lo que contradice el principio máximo.
