Encontrar la gama de $x$ si $\log_5\left(6+\frac{2}{x}\right)+\log_{1/5}\left(1+\frac{x}{10}\right)\leq1$

Question

Si $\log_5\left(6+\dfrac{2}{x}\right)+\log_{1/5}\left(1+\dfrac{x}{10}\right)\leq1$ entonces $x$ se encuentra en _______

Mi intento

$$ \log_5\bigg(6+\dfrac{2}{x}\bigg)+\log_{1/5}\bigg(1+\dfrac{x}{10}\bigg)=\log_5\bigg(6+\dfrac{2}{x}\bigg)-\log_{5}\bigg(1+\dfrac{x}{10}\bigg)\leq1\\ \log_5\frac{(6x+2)10}{x(10+x)}\leq1\implies\frac{(6x+2)10}{x(10+x)}\leq5\\ \frac{4(3x+1)}{x^2+10x}\leq1\\ \implies 12x+4\leq x^2+10x\quad\text{or}\quad12x+4>x^2+10x\\ x^2-2x-4\geq0\quad\text{or}\quad x^2-2x-4<0\implies x\in\mathcal{R} $$

Mi referencia da la solución $(-\infty,1-\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5},\infty)$ ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Olvidaste comprobar cuándo $$6+\dfrac{2}{x}>0$$ y $$1+\dfrac{x}{10}>0$$

¡es verdad!

Answer 2

Con su trabajo tenemos que resolver $$\frac{x^2-2x-4}{x(x+10)}\geq0$$ y el dominio da $x>0$ o $-10<x<-\frac{1}{3}.$

La primera por el método del intervalo da $$1-\sqrt5\leq x<0$$ o $$x\geq1+\sqrt5$$ o $$x<-10,$$ que con nuestro dominio da la respuesta: $$\left[1-\sqrt5,-\frac{1}{3}\right)\cup[1+\sqrt5,+\infty).$$

Answer 3

Escribir su desigualdad en la forma $$\frac{\ln\left(6+\frac{2}{x}\right)}{\ln(5)}+\frac{\ln\left(1+\frac{x}{10}\right)}{-\ln(5)}\le 1$$ obtenemos las desigualdades $$6+\frac{2}{x}>0$$ y $$1+\frac{x}{10}>0$$ y $$\frac{6+\frac{2}{x}}{1+\frac{x}{10}}\le 5$$ obtenemos $$1-\sqrt{5}\le x<-\frac{1}{3}$$ o $$x\geq 1+\sqrt{5}$$