Convergencia de $\frac{\sqrt{a_{n}}}{n}$

Question

Alguien puede ayudarme con la siguiente pregunta.

• Si $a_{n} \geq 0$ y $\sum a_{n}$ convergen entonces cómo probar $\sum \frac{\sqrt{a_{n}}}{n}$ converge.

Alguna idea de dónde empezar. Mi idea era intentar usando la prueba de comparación desde $\sqrt{a_{n}} \leq a_{n}$ pero parece que no funciona si $0 \leq a_{n} <1$.

Answer 1

$$\Bigl(\sqrt a_n-\frac{1}{n}\Bigr)^2=a_n-2*\frac{\sqrt a_n}{n}+\frac{1}{n^2}<a_n+\frac{1}{n^2}.$$

Puesto que todos los términos están mayores que $0$, por la comparación teorema $$\sum_{n=1}^{n=\infty} \Bigl(a_n-2*\frac{\sqrt a_n}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)$$ converges. But we were given that $ \sum_{n=1}^{n=\infty} a_n$ converges and we know $\sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{1}{n^2}$ converges, so since the sum or difference of convergent series also converges,the series $\sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{\sqrt a_n} $ {n} converge.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Etheory que la desigualdad de Schwarz es la más fácil.

Allí,

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{a_n}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}<\infty.$$

Answer 3

$S_n < (s_n(1 + 1/2^2 + ...+ 1/n^2))^{1/2}$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. $s_n$ es una secuencia convergente y que la suma parcial de la serie %#% por lo tanto, limitado arriba por $a_n$, #% y $K$. Así $1 + 1/2^2 + ...1/n^2 < \pi^2/6$ siendo la suma parcial de la serie actual es limitado arriba por $S(n)$, y es una secuencia de creciente así que debe converger y hemos terminado.

Answer 4

Esto es suficiente para mostrar que la secuencia $$ s_n=\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{a_k}}{k}, \quad k\in\mathbb N, $$ está acotada. (Desde $\{s_n\}$ está aumentando, y suponiendo que acotamiento, obtenemos que
$\{s_n\}$ converge.)

El uso de Cauchy-Schwarz tenemos que $$ s_n^2=\bigg(\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{\sqrt{k}}\bigg)^2\le \bigg(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^n a_k \bigg)\le \frac{\pi^2}{6}\sum_{k=1}^\infty a_k, \etiqueta{1} $$ desde $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Desde el lado derecho de la $(1)$ es limitada, por lo que es la izquierda lado, y, por tanto, $\{s_n\}$ es limitado y por lo tanto convergente.