¿Hay alguna ampliación de los DVR sin problemas?

Question

En realidad estaba pensando en una extensión finita (posiblemente ramificada) $K$ de $\mathbb Q_p$ y los anillos de enteros $\mathbb Z_p$ un $O_K$ . Es $\text{Spec } O_K \to \text{Spec }\mathbb Z_p$ ¿Suave?

Answer 1

Voy a responder a esto esperando que alguien proporcione una respuesta mejor (o al menos más general). Yo mismo he estado pensando en esta cuestión y me sorprendió no encontrar este tema tratado en ningún sitio.

No creo que $\mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_2[\sqrt{2}]$ es formalmente suave (por lo tanto no es suave). Consideremos el mapa $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^2) \rightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]/(x^2)$ esto corresponde al cociente por el ideal $(2)$ que es un ideal cero cuadrado. El mapa $\mathbb{Z}_2[\sqrt{2}] \rightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]/(x^2)$ dado por $\sqrt{2} \mapsto x$ no se eleva a un mapa $\mathbb{Z}_2[\sqrt{2}] \rightarrow (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^2)$ Así que $\mathbb{Z}_2[\sqrt{2}]$ no es formalmente suave sobre $\mathbb{Z}_2$ .