$f(x)=\ln(\tan{x}+2)+\ln(\tan{x}+3)=\ln(\tan^2{x}+5\tan{x}+6)$
Es $f(x)$ inyectiva en $\langle3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle$ ? Si es así, halla su inversa en ese intervalo.
$\tan^2{x}+5\tan{x}+6>0\implies \tan{x}\in\langle-\infty,-3\rangle\cup\langle-2,+\infty\rangle$
$\mathcal D_f=x\in[2k\pi,2(k+1)\pi]\setminus\langle \arctan{(-3)+(2k+1)\pi,\arctan{(-2)}+(2k+1)\pi\rangle}$
$g_1(x)=\ln{x}$
$g_2(x)=x^2+5x+6$
$g_3(x)=\tan{x}$
$f(x)=(g_1\circ g_2 \circ g_3)(x)$
$g_3(x)$ es inyectiva en $\langle3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle$ porque la distancia es menor que un período.
$g_3(\langle3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle)=\langle0,+\infty\rangle$
$g_2(x)=x^2+5x+6$ es inyectiva en $\langle0,+\infty\rangle$ porque el $x$ coordenada del vértice es $x_0=-\frac{5}{2}$
$g_2(\langle 0,+\infty\rangle)=\langle 6,+\infty\rangle$
$g_1(x)=\ln{x}$ es siempre inyectiva.
$g_1(\langle6,+\infty\rangle)=\langle \ln6,+\infty\rangle$
$f_{|\langle3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle}^{-1}(w)=(g_{3|\langle 3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle}^{-1}\circ g_{2|\langle0,+\infty\rangle}^{-1}\circ g_{1}^{-1})(w)$ $=g_{3|\langle 3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle}^{-1}(g_{2|\langle0,+\infty\rangle}^{-1}(e^w))$
$z^2-5z+6-e^w=0\implies z=\frac{-5 +\sqrt{25+4(e^w-6)}}{2}=\frac{-5 +\sqrt{1+4e^w}}{2}$
$f_{|\langle3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle}^{-1}(w)=\Bigg(g_{3|\langle 3\pi,\frac{7\pi}{2}\rangle}^{-1}\Bigg(\frac{-5 +\sqrt{1+4e^w}}{2}\Bigg)\Bigg)(w)=\arctan{\Bigg(\frac{-5 +\sqrt{1+4e^w}}{2}\Bigg)}$
¿Es correcto?
$D_f$ ">
