Ecuaciones diferenciales, cuestión teórica

Question

$$x(t)={1 \over (c-t)}\tag{$ ** $}$$ es la solución general de $$ x'=x^2$$ ¿Por qué la existencia del área y la unicidad de la solución $R_{tx}^2??$

Es la solución general en : $G_1=\{(t,x): t\in R , x<0\}$ y $G_2=\{(t,x): t\in R , x>0\}$

Soy consciente de que $(**)$ no está definido en $x=0$ y es para cada $t$ Lo que no entiendo es la $R_{tx}^2$ ámbito de la existencia y la unicidad , ¿a qué se debe?

Answer 1

El teorema de existencia y unicidad del teorema del valor inicial garantiza que el problema de valor inicial $$x'=f(x,t), x(t_0)=x_0$$ tiene una solución única $x(t)$ en un intervalo de $(t_0-\delta,t_0+\delta)$ si $f$ y $\frac{\partial f}{\partial x}$ es continua en una región rectangular de $\mathbb{R}^2_{tx}$ .

Esto le indica que su problema tiene solución única al menos en algún intervalo abierto alrededor del punto inicial.

Ahora ya sabes que tu oda termina con esta solución: $$x=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-t}$$

Es válido siempre que $x\ne 0$ .

Observe también que $x=0$ es un punto fijo de la ODE. Así que $x\equiv 0$ también es una solución.

Si dibujas el campo de dirección:

Usted ve que $x$ iría a $0$ si el valor inicial es negativo; $x=0$ si el valor inicial es $0$ . $x$ va a infinito si el valor inicial es positivo.

También puede dibujar la curva de solución utilizando su solución $x=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-t}$ . A continuación se muestran las imágenes con condiciones iniciales positivas y negativas, respectivamente:

Por lo tanto, sea cual sea su valor inicial, existe una solución única. Sin embargo, el intervalo de validez es $t\in(-\infty,\frac{1}{x_0})$ y $t\in(\frac{1}{x_0},\infty)$ para $x_0>0, x_0<0$ respectivamente.