Estoy intentando seguir unas notas que dicen $$ M= \begin{bmatrix} A&B^T\\B&C \end{bmatrix} \succeq 0 \Longleftrightarrow M'= \begin{bmatrix} A&-B^T\\-B&C \end{bmatrix} \succeq 0$$ y quiero demostrármelo a mí mismo (sólo el $\Rightarrow$ dirección porque es trivial ir en la otra dirección una vez que se ha demostrado una dirección).
Claramente, $ \begin{bmatrix} A&B^T\\B&C \end{bmatrix} \succeq 0\Longrightarrow A,C\succeq0 $ por ordenador $x^TMx$ (para $x=\begin{bmatrix}v\\0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0\\v\end{bmatrix}$ ) que es $\geq0\ \ \forall\ v$ por definición.
Entonces, para un $x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$ ,
$$ \begin{bmatrix} x_1^T&x_2^T \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \underbrace{x_1^TAx_1}_{\geq0} + \underbrace{x_2^TCx_2}_{\geq0} +2x_2^TBx_1\geq2x_2^TBx_1 $$
y
$$ \begin{bmatrix} x_1^T&x_2^T \end{bmatrix} M' \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} =x_1^TAx_1+x_2^TCx_2-2x_2^TBx_1\geq-2x_2^TBx_1. $$
Entonces me atasco.
