¿Negar los bloques no diagonales mantiene la semidefinición positiva?

Question

Estoy intentando seguir unas notas que dicen $$M= \begin{bmatrix} A&B^T\\B&C \end{bmatrix} \succeq 0 \Longleftrightarrow M'= \begin{bmatrix} A&-B^T\\-B&C \end{bmatrix} \succeq 0$$ y quiero demostrármelo a mí mismo (sólo el $\Rightarrow$ dirección porque es trivial ir en la otra dirección una vez que se ha demostrado una dirección).

Claramente, $\begin{bmatrix} A&B^T\\B&C \end{bmatrix} \succeq 0\Longrightarrow A,C\succeq0$ por ordenador $x^TMx$ (para $x=\begin{bmatrix}v\\0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0\\v\end{bmatrix}$ ) que es $\geq0\ \ \forall\ v$ por definición.

Entonces, para un $x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$ ,

$$\begin{bmatrix} x_1^T&x_2^T \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \underbrace{x_1^TAx_1}_{\geq0} + \underbrace{x_2^TCx_2}_{\geq0} +2x_2^TBx_1\geq2x_2^TBx_1$$

y

$$\begin{bmatrix} x_1^T&x_2^T \end{bmatrix} M' \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} =x_1^TAx_1+x_2^TCx_2-2x_2^TBx_1\geq-2x_2^TBx_1.$$

Entonces me atasco.

Answer 1

Sólo tiene que aplicar su suposición sobre $M$ al vector $[-x_1^T,x_2^T]$ .