Tarea con uso de un operador lineal

Question

Población de tlacuaches que viven en condiciones severas y condiciones adversas, sujeta a las siguientes normas:

a) En promedio, sólo la mitad de los toves sobrevivir el primer año de vida, la mitad de los restantes sobrevive en el segundo año, y sólo una cuarta parte de los dos años de la tercera. Más de cuatro años toves slithy no pueden vivir.

b) Un tove slithy el segundo año, por término medio genera tres toves slithy el tercero - cuatro, el cuarto - tres. El primer año toves descendencia no dan. Determinar cuál debe ser el número toves todas las edades a esta la población era estable.

Se dice que la población es estable si la proporción entre el número de toves de distintas edades se salva en cada generación. Por ejemplo, toves un año más jóvenes siempre dos veces que toves entre las edades de uno a dos años, y etc.

¿Cómo se calcula el número total de población estable en un año?

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Consideremos el cambio anual de la composición numérica de la población como un operador lineal.

Answer 1

Podemos modelar esto como un máquina de estados o un gráfico , teniendo un estado para cada nuevo año. Esta máquina de estados en particular será fácil de escribir:

$$birth \underset{1/2}{\to} 1 \underset{1/2}{\to} 2 \underset{1/4}{\to} 3 \underset{1}{\to} death$$

Aquí hemos escrito probabilidades debajo de las "flechas", y también deberíamos tener flechas con las probabilidades complementarias que van al $death$ estado. Podemos escribirlo como una matriz, cada estado con su propia fila y cada transición con su propia columna:

$$\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0.5&0&0&0\\0&0.5&0&0\\0&0&0.25&0\\0.5&0.5&0.75&1\end{array}\right]$$

Podemos ver que las columnas suman uno, lo que significa que el porcentaje total de un estado no puede ser inferior al 100% (no se permite que "desaparezcan" por arte de magia los tovitos).

Esto debería dar un iniciar para ayudar a atacar el problema.