Serres "Representación lineal de grupos finitos", problema de comprensión de un corolario del capítulo 2

Question

En el capítulo dos de Serre tenemos como segundo corolario del Lemma de Schur que si tenemos una representación lineal de $G$ y $(x_{i_1 i_2})$ es la matriz de un mapa lineal a partir de una representación irreducible $V_1$ a una representación irreducible $V_2$ . Entonces:

$$\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}r_{i_2 j_2}(t^{-1})r_{j_1 i_1}(t) = 0 $$ .

Lo que se utiliza en la prueba es que si dejamos que t pase por $G$ :

$$\frac{1}{|G|}\sum_{t, i_2, j_2}r_{i_2 j_2}(t^{-1})x_{j_2 j_1} r_{j_1 i_1}(t) = 0~~(*)$$

El argumento del libro es el siguiente: El lado derecho de la ecuación (*) es una forma lineal con respecto a $x_{j_2 j_1}$ y que esto es cierto, porque esta forma desaparece para todos los valores de la $x_{j_2 j_1}$ sus coeficientes son cero. No se menciona de qué forma lineal se trata. ¿Cuál es el dominio y cómo funciona el mapeo?

Answer 1

Sea $V_1$ tienen dimensión $m$ y $V_2$ tienen dimensión $n$ . Entonces todo lo que se reclama es que el mapa

$$T\colon\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$$

dada por

$$T\colon (x_{i_2i_1})\mapsto\frac{1}{|G|}\sum_{t,j_1, j_2}r_{i_2j_2}(t^{-1})x_{j_2j_1}r_{j_1i_1}(t)$$

es un mapa lineal. Esto es evidente. Por el Corolario 1 del Capítulo 2, sabemos que si $\rho_1$ y $\rho_2$ no son isomorfos, entonces su ecuación (*) siempre se mantendrá para cualquier conjunto de números $\{x_{j_2j_1}\}$ que tiene el tamaño adecuado para ser las entradas de un $m\times n$ lo que significa que $T$ es la transformación lineal cero. La matriz de $T$ correspondiente a la base obvia de matrices con 1s en una entrada y ceros en todas las demás es un $mn\times 1$ (un vector de filas, si lo prefiere) cuyas entradas son precisamente los números

$$\frac{1}{|G}\sum_{t\in G} r_{i_2j_2}(t^{-1})r_{j_1i_1}(t)$$ .

Por lo tanto, todos estos números son cero.