Triple Integral $\iiint\limits_Wz\frac{e^{2x^2+2y^2}}2\,dx\,dy\,dz$ donde $W=\{(x,y,z):x^2+y^2=1,0\le z\le4\}$

Question

Me piden que encuentre lo siguiente:

$W$ es el sólido delimitado por el cilindro circular derecho limitado: $$ x^2+y^2=1$$ y los aviones: $$z=0, z=4$$ debe calcular: $$\iiint_W z\frac{e^{2x^2+2y^2}}{2}\,dx\,dy\,dz$$ Mi procedimiento fue el siguiente, tengo en coordenadas cilíndricas: $$ x = r\cos(\theta ), y = r\sin(\theta ), z = z, r^2=x^2+y^2$$ por lo tanto plantea trabajar bien $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^4z\frac{e^{2r^{2}}}{2}r\,dz\,dr\,d\theta$$ pero en este punto encuentro problemas para desarrollar esta integral ya que no he podido desarrollar ningún método; por partes o cambio por Fubini. Cualquier consejo será de mucha ayuda, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Manejo de $z$ es fácil, ya que se trata de un polinomio.

Manejo de $\theta$ también es fácil.

Ahora para manejar el $r$ término. Se pierde un $r$ . recuerde que cuando se utiliza la coordenada cilíndrica. Tenemos que utilizar $r\,dr\,d\theta$ en lugar de $dr\,d\theta$ . Esto simplifica el problema.