Búsqueda de subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre campos finitos

Question

Búsqueda de subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre campos finitos.

Dado $y^2=x^3+x+1$ en $F_3$ Necesito subgrupo de torsión de $E[3]$

$E[3]$ es trivial o isomorfo a $\mathbb Z_3$

Los puntos $(1,0),(-1,0),(0,0)$ son cada una de orden $2$ tan inútil, pero el punto $(3,1)$ tiene orden $4$ es decir $4(3,1)=(\infty,\infty)$ ¿Existe la posibilidad de combinar este punto con los demás (o consigo mismo, ahora no lo veo) para obtener un elemento de orden? $3$ ?

Answer 1

Para responder a tu pregunta concreta, no, no se pueden "combinar" puntos de orden 2 y de orden 4 para crear puntos de orden 3. Por otro lado, es bastante fácil encontrar los puntos de orden 3. Basta con utilizar la fórmula de duplicación para escribir $$x(2P)=x(P).$$ Al despejar los denominadores obtendrás una ecuación para resolver $x(P)$ . (En general, se obtendría una ecuación cuártica, pero como se busca $p$ -torsión en la característica $p$ el grado será inferior). Si se obtiene una constante, la curva es supersingular, y $E[3]=0$ . Si se obtiene una ecuación no constante, entonces $E[3]\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ .