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Límite de Chernoff para i.i.d. $[-a,a]$ variables aleatorias acotadas.

Estoy tratando de encontrar una versión de los límites de Chernoff que permita que las variables aleatorias tomen valores negativos y al mismo tiempo proporcione una garantía multiplicativa. Más precisamente, estoy familiarizado con la siguiente declaración:


Sea $X_1,\dots,X_m$ sea $m$ variables aleatorias independientes que toman valores en $[0,1]$ con $\mathbb{E} X_i = p_i$ y $\sum_{i=1}^m p_i = P$ . Para cualquier $\gamma \in (0,1]$ tenemos

$$ \begin{align*} \mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^m X_i > (1+\gamma)P\right\} &< \exp_-\frac{\gamma^2P}{3}\\ \mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^m X_i < (1-\gamma)P\right\} &< \exp_-\frac{\gamma^2P}{2} \end{align*} $$


Lo que yo sería like es algo parecido, pero relajando el $[0,1]$ supuesto:


Sea $X_1,\dots,X_m$ sea $m$ variables aleatorias independientes que toman valores en $[-1,1]$ con $\mathbb{E} X_i = p_i$ y $\sum_{i=1}^m p_i = P \geq 0$ . Para cualquier $\gamma \in (0,1]$ tenemos (?)

$$ \begin{align*} \mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^m X_i > (1+\gamma)P\right\} &< \exp_-\frac{\gamma^2P}{3}\\ \mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^m X_i < (1-\gamma)P\right\} &< \exp_-\frac{\gamma^2P}{2}\\ \end{align*} $$


¿Alguien conoce una buena referencia donde exista tal afirmación (si es que existe)? (en realidad, incluso limitando el $X_i$ sería suficiente para lo que necesito).

(Estaba pensando en probarlo directamente siguiendo la prueba estándar y simplemente arreglándolo para que funcione en este escenario, pero la parte de minimización es algo liosa -- si pudiera hacerlo sin reinventar la rueda, sería genial)

Gracias,

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Clement C. Puntos 16603

Después de discutirlo con mi asesor, parece que tal límite no puede existir en general, al menos sin más suposiciones: en efecto, si la $X_i$ son i.i.d. con $$ \begin{align*} \mathbb{P}\{X_i=1\} = 1-\mathbb{P}\{X_i=-1\}= \frac{1}{2}+\varepsilon \end{align*} $$ entonces $\mathbb{E} X_i=2\varepsilon$ , $P=2m\varepsilon$ e incluso tomando $\gamma=\frac{1}{2}$ daría lugar a $$\mathbb{P}\left\{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m X_i < \frac{\varepsilon}{2}\right\} < \exp_-\frac{m\varepsilon}{8}$$ que es como máximo $1/3$ para $m=\left\lceil\frac{10}{\varepsilon}\right\rceil$ ; contradiciendo el hecho de que distinguir una moneda justa de una $(\frac{1}{2}+\varepsilon)$ -sesgada con probabilidad de al menos $2/3$ requiere $\Omega\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\right)$ muestras.

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