Límites de la integración de los PMF de distribución conjunta

Question

Tengo una función de distribución conjunta:

$$ f(x,y) = cx^2y $$

para $x^2 \leq y \leq 1$

Quiero encontrar $P(X \geq Y)$

La solución tiene una integral doble donde los límites de la integral exterior son $0$ a $1$ (para $dx$ ) y los límites de la integral interna son $x^2$ a $x$ (para $dy$ ).

Alternativamente, los límites exteriores pueden ser $0$ a $1$ (para $dy$ ) y los límites interiores pueden ser $y$ a $\sqrt{y}$ (para $dx$ ).

¿Cómo se encuentran los límites internos de la integración? No consigo averiguar cómo hacerlo sistemáticamente.

Gracias.

Answer 1

Dibujar la región donde "vive" la función de densidad conjunta. Se nos dice que $y\ge x^2$ con $y\le 1$ . Dibuja la parte de la parábola $y=x^2$ entre $x=-1$ y $x=1$ . La función de densidad vive por encima de la parábola y por debajo de la línea $y=1$ . Llame a esta región $D$ .

Primero hallamos la constante $c$ . Queremos $$\iint_D cx^2\,dy\,dx=1.$$ Exprésalo como una integral iterada. Obsérvese que $y$ viaja desde $x^2$ a $1$ y luego $x$ viaja desde $-1$ a $1$ . Así obtenemos $$\int_{-1}^1 \left(\int_{y=x^2}^1 cx^2 y\,dy\right)\,dx=1.$$

Ahora que tenemos $c$ podemos hallar la probabilidad de que $X\ge Y$ . Traza la línea $y=x$ . Sea $E$ sea la región dentro de $D$ y por debajo de la línea $y=x$ . Traza esa línea. Se encuentra con $y=x^2$ en $(0,0)$ y $(1,1)$ . Nuestra probabilidad es $$\iint_E cx^2y \,dy\,dx.$$ Para evaluar la integral doble, exprésala como una integral iterada. En la parte inferior, tenemos $y=x^2$ y en la parte superior de la rgión tenemos $y=x$ . Así que nuestra probabilidad es $$\int_{0}^1 \left(\int_{y=x^2}^x cx^2 y\,dy\right)\,dx.$$