¿Cómo puedo encontrar los dos últimos dígitos $2012^{2013}$ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar los dos últimos dígitos 2012 2013

Mi profesor dijo que esto era simple aritmética (todavía no veo cómo esto es simple).

Pensé en utilizar la ecuación de congruencia como 2012 es congruente a 2 mod 10 ... pero no puedo conseguir 2 2013

¿Alguien puede ayudar, por favor?

Answer 1

$(10 +2)^k = 10^k + 10^{k-1}*2k + 10^{k-2}{k\choose 2}2^2+.... + 10*2^{k-1}*k + 2^k$ .

Así pues, las dos últimas cifras vienen determinadas por $20130*2^{2012} + 2^{2013}$ .

Y fíjate en los dos últimos dígitos de $2^k$ repetir.

¿Cuánto tiempo se tarda en repetir? Pues el último dígito se repite cada cuatro. $2\to 4\to 8\to 16\to 32$ vuelve a $2$ por lo que los dos últimos dígitos deben repetir un múltiplo de $4$ . $2^5 = 32$ , $2^9=512$ y $2^13\equiv 12*16\equiv 92\mod 100$ . $2^{17}\equiv 92*16 \equiv 72\mod 100$ y $2^{21} \equiv 72*16\equiv 52$ $2^{25}\equiv 52*16\equiv 32 \equiv 2^5$ por lo que se repite cada $20$ iteraciones.

Así que $2012^{2013} \equiv 30*2^{12} + 2^{13} \equiv 30*96 + 92 \equiv 80 + 92 \equiv 72\mod 100$ .