¿Cómo puedo encontrar los dos últimos dígitos $2012^{2013}$ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar los dos últimos dígitos 2012 2013

Mi profesor dijo que esto era simple aritmética (todavía no veo cómo esto es simple).

Pensé en utilizar la ecuación de congruencia como 2012 es congruente a 2 mod 10 ... pero no puedo conseguir 2 2013

¿Alguien puede ayudar, por favor?

Answer 1

Hiciste bien en utilizar $2012\equiv 2\mod 10$ . Ahora, observe que hay un patrón de repetición en el último dígito cuando se eleva $2$ a potencias enteras:

$2^1=2$

$2^2=4$

$2^3=8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6=64$

$2^7=128$

$2^8=256$

... y así sucesivamente...

En general:

$2^{4n+1}\equiv 2 \mod 10$

$2^{4n+2}\equiv 4\mod 10$

$2^{4n+3}\equiv 8\mod 10$

$2^{4n}\equiv 6 \mod 10$

$2013$ es de la forma $4n+1$ . Esta información es suficiente para resolver su problema.

Answer 2

Trabajamos modulo $100$ por lo que trabajamos modulo $2^2=4$ y $5^2=25$ . El número dado es, por supuesto, cero módulo cuatro, por lo que sólo lo necesitamos módulo $25$ . El indicador de Euler de $25$ es $\frac 45\cdot 25=20$ Así que $12^{20}=1$ modulo $25$ . Así que $$ 2012^{2013}=12^{2013}=12^{20\cdot 100+13}=(12^{20})^{100}\cdot 12^{13} =12^{13}=22 $$ modulo $25$ . En $22$ , $22+25$ , $22+50$ , $22+75$ el divisible por cuatro es $22+50=72$ . Así que esta es la respuesta.

Comprobación informática, aquí salvia :

sage: R = Zmod(100)
sage: R(2012)^2013
72

Answer 3

Trabajar en mod $100$ tenemos $$12^{21} \equiv 12$$

Así $$2012^{2013}\equiv 12^{2013} \equiv 12^{21\times 95+18} \equiv 12^{95} \times 12^{18} \equiv 12^{113} \equiv 12^{21\times 5+8}\equiv 12^{13}\equiv 72$$

Answer 4

Puedes hacer todos los cálculos a mano, utilizando de Euler y el teorema del resto chino.

Tenga en cuenta en primer lugar que $\varphi(100)=\varphi(4)\varphi(25)=2\cdot 20$ así como $2012\equiv 12\mod 100$ tenemos $$2012^{2013}\equiv 12^{13}=2^{26}\cdot 3^{12}\mod 100.$$ Calculemos primero estas potencias primos $\bmod 4$ y $25$ :

• $3$ tiene orden $2\bmod 4$ Así que $3^{13}\equiv 3\mod 4.$
• $3^{10}\equiv -1\mod 25$ Así que $3^{13}=3^{10}\cdot 3^3\equiv -2\mod 25$ .
• $2^{26}\equiv 0\mod 4$ .
• $2^{26}=2^{20}\cdot 64\equiv-11\mod 25$

Así pues, tenemos que resolver el sistema de congruencias \begin{cases}12^{13}\equiv \color{red}0\mod 4,\\12^{13}\equiv (-2)(-11)=22\equiv \color{red}{-3}\mod 25. \end{cases} Las soluciones son fáciles si tenemos una relación de Bézout entre los módulos. En el caso que nos ocupa podemos partir de $$1\cdot 25-6\cdot 4=1$$ de donde se deduce la congruencia $$2012^{2013}\equiv \color{red}0\cdot1\cdot 25-(\color{red}{-3})\cdot6\cdot 4 = \color{red}{72}\mod 100.$$

Answer 5

Pista: Utilizar congruencias mod $100$ . Verá que $12^{21} \equiv 12 \bmod 100$ .

Solución: $$ 2012^{2013} \equiv 12^{2013} = 12^{21\cdot 95+18} = (12^{21})^{95} 12^{18} \equiv 12^{95} 12^{18} = 12^{113} = 12^{21\cdot5+8} \equiv 12^5 12^{8} = 2^{13} \equiv 72 \bmod 100 $$