¿Tiene la siguiente ecuación rectas asintóticas?

Question

La función es

$f(x) = \frac{\sin(x) + \cos (x) -1}{x + arctan(x)}$ En $x \neq 0$ y $\frac{1}{2}$ cuando $x = 0$

Sé que para obtener la asíntota vertical entonces

$\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$

Y cuando $y = g(x)$ es la otra asíntota de f cuando ${x \to \infty}$ si

$\lim_{x \to \infty} (f (x) g(x)) = 0$

La línea es horizontal si

y = g(x) = L Y angular si

$y = g(x) = ax + b, a \neq 0$ .

Sin embargo, no sé cómo hacer que la función llegue hasta el infinito, si introduzco cero, es $\frac{0}{0}$ . ¿Se considera infinito? ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Hacer que la función "vaya al infinito" significa que nos interesa el comportamiento de las salidas cuando las entradas se hacen extremadamente grandes. Para un numerador fijo $k$ y número racional positivo $r$ tenemos lo siguiente para ayudarle.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{k}{x^r}=0$$

Esencialmente, fijando el numerador y permitiendo que el denominador aumente sin límite, el valor de la fracción se hace entonces más pequeño hasta el punto en que es esencialmente igual a $0$ . Se puede considerar una variación indirecta. A medida que aumenta el denominador, disminuye el valor de la fracción. Esto también funciona en la dirección "opuesta", es decir, si el denominador disminuye, el valor de la fracción aumenta.

Esto es importante porque tenemos un poder de $x$ en el denominador.

Ahora, tu función inicial tiene en su numerador las funciones seno y coseno. Conocer los rangos de éstas es importante. Tanto el seno como el coseno nunca tomarán valores de función mayores que $1$ o inferior a $-1$ . Por lo tanto, al sumarlos, su suma nunca puede ser mayor que $2$ o menos de $-2$ . En realidad es más ajustado que eso, pero al final no importa debido al comportamiento del denominador. Por último, restando uno de ambos límites superior e inferior nos dice que

$$-3\le\sin{x}+\cos{x}-1\le1$$

Así, el valor del numerador se fija esencialmente entre $-3$ y $1$ . Por fin, $\arctan{x}$ es también una función acotada en el sentido de que su valor para cualquier entrada $x$ nunca será menor que $\frac{-\pi}{2}$ y nunca ser mayor que $\frac{\pi}{2}$ . Eso significa que todo nuestro denominador $x+\arctan{x}$ "actuará" simplemente como $x$ . Para valores extremadamente grandes de $x$ añadiendo $\frac{\pi}{2}$ es esencialmente despreciable, ya que sólo estamos considerando grandes valores positivos de $x$ .

Así pues, lo que tenemos es que

$$\frac{-3}{x+\arctan{x}}\le \frac{\sin{x}+\cos{x}-1}{x+\arctan{x}}\le\frac{1}{x+\arctan{x}}$$

Tomando los límites como $x\rightarrow \infty$ ,

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-3}{x+\arctan{x}}\le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin{x}+\cos{x}-1}{x+\arctan{x}}\le\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x+\arctan{x}}$$

$$0\le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin{x}+\cos{x}-1}{x+\arctan{x}}\le0$$

Esto obliga a que nuestro límite sea $0$ y significa que tenemos una asíntota horizontal $y=0$