Una pregunta sobre los puntos no errantes

Question

Sea $f:X\to X$ sea un homeomorfismo sobre un espacio métrico compacto $(X, d)$ . Un punto $x\in X$ se denomina punto no errante, $x\in\Omega(f)$ si para cada conjunto abierto $U$ de $x$ hay $n\in\mathbb{N}$ tal que $f^n(U)\cap U\neq \emptyset$ .

Decimos que un punto $x\in X$ es fuerte no errante, $x\in\Omega_s(f)$ si para cada conjunto abierto $U$ de $x$ hay $n\in\mathbb{N}$ tal que $f^{nk}(U)\cap U\neq\emptyset$ para todos $k\in\mathbb{N}$ .

A continuación demostramos que $\Omega_s(f)$ es un conjunto cerrado.

Sea $x_n\to x$ y $x_n\in\Omega_s(f)$ para todos $n$ . Sea $U$ sea un conjunto de pen $x$ por lo que existe $x_n\in U$ esto implica que existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $f^{mk}(U)\cap U\neq \emptyset$ para todos $k\in\mathbb{N}$ es decir $x\in\Omega_s(f)$ .

Es evidente que $\Omega_s(f)\subseteq \Omega(f)$ .

¿Qué se puede decir de la inclusión inversa?

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Lo contrario no es cierto. Tome rotación irracional $f$ sobre el círculo, podemos girar un pequeño ángulo, por ejemplo $\alpha=\frac{2\pi}{100}$ . A continuación, tomar un pequeño barrio $U$ de cualquier punto $x$ en el círculo. Hay $n\in\mathbb{N}$ tal que $f^n(U)\cap U\neq\emptyset$ pero también hay $k\in\mathbb{N}$ tal que $f^{nk}(U)\cap U=\emptyset$ ya que $f^k$ también es rotación irracional y es transitiva, por lo que $f^{nk}(U)$ punto de rachas $-x$ (en el lado opuesto del círculo) y, puesto que $U$ es lo suficientemente pequeño, $f^{nk}(U)\cap U=\emptyset$ .