¿Interpretación física de la variable transformada de mellin?

Question

Me ceñiré al tema: Dada una señal en el dominio del tiempo, digamos una grabación de micrófono de una conversación:

1. Tránsito de Laplace de x es alguna función X(s) dicen definidos en el plano complejo. Me gusta pensar en esta variable s como medida de la frecuencia y la amortiguación inherentes a la señal x(t) (Si alguien tiene una interpretación mejor, me encantaría oírla).

2. Transformada de Fourier de x es alguna función x(f) definida en un dominio real f que divide la función x en sus componentes de frecuencia, como si sólo escucháramos la batería en un grupo de jazz.

3. ¿Transformación de Mellin? ¿No encuentro ninguna explicación para la transformada de Mellin de una función?

También parece que la tranformación de Mellin tiene aplicaciones limitadas en ingeniería, la física siempre ha ido por delante de los ingenieros en la adopción de nuevas técnicas. ¿Hay alguna razón para ello o nuevas investigaciones?

Answer 1

• Interpretación física: Para desarrollar una intuición física, este artículo puede ser informativo:

El espectro de potencia de la transformación de Mellin con aplicaciones al escalado de magnitudes físicas

La transformada de Mellin se utiliza para diagonalizar el operador de dilatación de forma análoga al uso de la transformada de Fourier para diagonalizar el operador de dilatación. manera análoga al uso de la transformada de Fourier para diagonalizar el operador de traslación. También se introduce un espectro de potencia para el transformada de Mellin que es análoga a la utilizada para la transformada de Fourier. de Fourier. A diferencia del espectro de potencia de la transformada de Fourier de Fourier, donde los picos agudos corresponden a periodicidades en traslación, los picos del espectro de potencia de la transformada de Mellin corresponden a periodicidades de aumento.

Por este motivo, la transformada de Mellin también se denomina "transformada de escala" (al igual que la transformada de Fourier se denomina transformada de frecuencia). Al igual que la transformada de Fourier es insensible (en valor absoluto) a una traslación, la transformada de Mellin es insensible (en valor absoluto) a una ampliación.

• Aplicaciones en ingeniería de radares: Una aplicación clásica de la transformada de Mellin es la tecnología de radar. Recordemos que la resolución en el tiempo de una señal es el recíproco de la dispersión de su transformada de Fourier. En un radar (o sonar), una señal se refleja en un objetivo en movimiento y se desea determinar con precisión su velocidad. La resolución de la velocidad de la señal es el recíproco de la dispersión de su transformada de Mellin. Esta aplicación se resuelve en:

Cálculo del límite de Cramer Rao para la estimación de la velocidad en el caso de banda ancha mediante la transformada de Mellin

• Aplicaciones en el reconocimiento de patrones: Las propiedades de invariancia de las transformadas de Mellin y Fourier pueden combinarse en la denominada transformada de Fourier-Mellin para detectar patrones invariantes de rotación y escala. Esta combinación se realiza mediante un mapeo logarítmico seguido de una transformación de Fourier, y se cree que la corteza visual funciona de esta manera.

Una transformación biológicamente plausible para el reconocimiento visual que es invariante a la traslación, la escala y la rotación