Fijamos la divergencia del potencial vectorial $A$ porque $\nabla \cdot \nabla \psi \ne 0$ ?

Question

Porque $\nabla \times \nabla \psi = 0$ podemos transformar el potencial vectorial $A \longmapsto A + \nabla \psi$ sin cambiar el campo magnético. Es la razón por la que especificamos $\nabla \cdot A$ en la teoría gauge, porque $\nabla \cdot \nabla\psi\ne0$ ? Por lo tanto, siempre podemos encontrar una función $\psi$ tal que $\nabla \cdot A$ igual a lo que queramos.

Un poco más elaborado:

Digamos que encontré $A$ y $\phi$ y $\nabla \cdot A \ne 0$ . En principio, nada me impide encontrar una función $\psi$ tal que $\nabla \cdot (A + \nabla \psi)=0$ (galga de Coulomb). Pero ahora mi potencial escalar será modificado. Entonces de la ley de Gauss: $\nabla \cdot( \nabla\phi+\frac{\partial \nabla\psi}{\partial t}- \frac{\partial }{\partial t}(A + \nabla \psi))=\nabla \cdot( \nabla\phi+\frac{\partial \nabla\psi}{\partial t})$ . Así, el nuevo 4-potencial en el gauge de Coulomb $(\phi,A)\longmapsto (\phi+\frac{\partial \nabla\psi}{\partial t},A + \nabla\psi)$ . Así pues, la libertad de elección de la divergencia se deriva de la libertad de elección de $\nabla \phi$ .

Answer 1

La libertad de gálibo es la libertad de transformar $\mathbf{A} \to \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \psi$ y $\phi \to \phi' = \phi - \partial \psi/\partial t$ para cualquier función escalar $\psi$ . (Nótese la ligera diferencia con sus expresiones.) Si queremos exigir que $\nabla \cdot \mathbf{A}' = 0$ (Coloumb), esto se reduce a ser capaz de encontrar una función $\psi$ tal que $\nabla^2 \psi = -\nabla \cdot \mathbf{A}$ . Como sabemos que siempre existe una función $\psi$ que satisfaga esta ecuación, la condición $\nabla \cdot \mathbf{A}' = 0$ es siempre realizable mediante una transformación gauge.

Dicho esto, hay muchas otras condiciones de gálibo que podríamos imponer y que no conducen a $\nabla \cdot \mathbf{A}' = 0$ . Otras opciones habituales son $\nabla \cdot \mathbf{A}' + \partial \phi'/\partial t= 0$ (galga de Lorenz), $\phi' = 0$ (indicador temporal), y $\mathbf{A}' \cdot \hat{n} = 0$ para algún vector unitario $\hat{n}$ (calibre axial). Todas ellas son realizables, en el sentido de que dada una $\mathbf{A}$ y $\phi$ siempre existe una función $\psi$ de manera que los potenciales transformados satisfagan la condición deseada.

Así que no es exacto decir que nosotros debe imponer el gauge de Coulomb porque tenemos libertad de gauge. Es más exacto decir que se nos permite esta elección gracias a la libertad gauge, y que la libertad gauge nos permite también muchas otras elecciones.