¿Por qué estudiar la resolubilidad de polinomios de grado primo?

Question

Galois investigó la solubilidad por radicales de polinomios de grado primo y primo-cuadrado. Estos resultados se presentan en forma moderna en el capítulo 15 del libro de Cox sobre Teoría de Galois. He aquí un ejemplo de un resultado de este tipo:

Sea $f$ sea un polinomio irreducible de grado primo sobre un campo $K$ de característica cero. Entonces $f$ es resoluble por radicales si, para dos raíces cualesquiera $a, b$ de $f$ , $K(a, b)$ es un campo de división de $f$ .

¿Por qué estudiar la resolubilidad de polinomios de grado específicamente primo? ¿Puede reducirse el caso general a este caso? En teoría de números solemos estudiar el caso primo/primo-potencia en lugar del caso general porque el Teorema Chino del Resto nos permite reducir el segundo al primero, pero eso no parece probable aquí porque $\deg fg=\deg f + \deg g$ y no $\deg fg = \deg f \deg g$ así que no veo cómo la primacía del grado podría ser relevante.

Answer 1

Me atrevo a decir que en este contexto una conexión clave es que los subgrupos transitivos máximos solubles de $S_p$ están contenidas en un conjugado de la holomorfa $C_p\rtimes C_{p-1}$ . Véase esta pregunta para la aparición más antigua (AFAICT) de este resultado de teoría de grupos en nuestro sitio. Si sabe que $K(a,b)/K$ es Galois, entonces también lo es $K(a,b)/K(a)$ . Como subgrupo de $S_p$ este último es un estabilizador puntual de una de las raíces.

Para los no preferentes $n$ probablemente se sabe bastante sobre los subgrupos transitivos máximos solubles de $S_n$ pero soy demasiado ignorante para decir más al respecto.