Esta es una pregunta del compañero de Bergman a Rudin.
a) Demuestre que los únicos polinomios que están acotados como funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son funciones constantes.
(Puedo hacer esto) También hecho aquí
b)Deduce que si una secuencia de polinomios $P_n:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ a $f$ entonces $f$ es un polinomio.
Me imagino que la convergencia uniforme implica que en algún momento (para n grande) los polinomios deben tener la misma potencia más alta porque de lo contrario valores grandes de $\mathbb{R}$ destruiría cualquier esperanza de convergencia uniforme. Entonces, eventualmente, la segunda potencia más alta debe ser igual también por un argumento similar... Entonces, supongo que se podría hacer un argumento similar para los coeficientes introduciendo valores grandes de x, la diferencia en cada coeficiente debe ser bastante pequeña para mantener la convergencia uniforme.
Me gustaría que me ayudaran a entender si/por qué esto significa que el límite es realmente un polinomio.
