¿Qué es exactamente una homotopía vertical?

Question

Como sugiere el título de la pregunta, ¿qué es exactamente una homotopía vertical? Hasta ahora, buscar en Google no ha proporcionado resultados claros en cuanto a una definición concreta...

Answer 1

Cuando busco "homotopía vertical", los resultados 1 y 3 son esta pregunta. El resultado 4 es el libro "Fibrewise Homotopy Theory" de Michael Charles Crabb e Ioan Mackenzie James. En la página 21, dice

Decimos que dos secciones $s_0$ y $s_1$ de un espacio fibroso $X \to B$ son verticalmente homotópicas si son homotópicas a través de secciones, es decir, si existe una homotopía $s_t, 0 \le t \le 1$, donde cada mapa $s_t$ es una sección.

Answer 2

Creo que una "homotopía vertical" es lo mismo que una "homotopía de fibra", es decir, una homotopía en la categoría de mapas sobre $B$:

si $p : E \to B$ y $p':E' \to B$ son dos mapas sobre $B$ y $f_1, f_2 : E \to E'$ son mapas de $p$ a $p'$ (es decir, mapas $B$ o $p'\circ f_i = p$), entonces un mapa continuo $H:E \times I \to E'$ tal que $H(-,0) = f_0$ y $H(-,1) = f_1$ es una "homotopía de fibra" entre $f_0$ y $f_1$ si $\begin{equation} \forall t, \ p' \circ H(-,t) = p. \end{equation}$

Y dos secciones $s_1$ y $s_2$ de $p$ son verticalmente homotópicas si los dos $B$-morfismos $s_1 \circ p$ y $s_2 \circ p$ de $E$ a $E$ son homotópicos de fibra.